Échangeurs : DTLM, NTU, efficacité

Une batterie de centrale, un échangeur à plaques de sous-station, un récupérateur sur l'air extrait : tous font passer de la chaleur d'un fluide à un autre à travers une paroi. Deux méthodes suffisent pour les calculer. La différence de température moyenne logarithmique sert à dimensionner ; la méthode efficacité-NTU sert à prévoir ce que fait un appareil donné quand les débits ou les températures changent.

8.1 Le bilan des deux fluides

Un échangeur sans pertes vers l'extérieur ne crée ni ne détruit d'énergie : ce que le fluide chaud perd, le fluide froid le gagne. Pour des fluides qui ne changent pas d'état :

Φ = C_c · (t_c,e − t_c,s) = C_f · (t_f,s − t_f,e), C = q_m · c_p (W/K)

Les indices c et f désignent le fluide chaud et le fluide froid, e et s l'entrée et la sortie. C est la capacité thermique du débit : la puissance qu'il faut pour élever d'un kelvin la température du fluide qui passe. Elle s'obtient par le débit massique et la capacité thermique massique, 4,18 kJ/(kg·K) pour l'eau et 1,006 kJ/(kg·K) pour l'air sec, valeurs arrondies que garde tout le chapitre.

Le bilan dit déjà une chose importante : le fluide dont le C est le plus petit est celui dont la température varie le plus. 0,20 kg/s d'eau ont un C de 836 W/K ; s'ils cèdent 33,6 kW, ils se refroidissent de 40,2 K. Le même débit d'eau en face, avec le même C, se réchauffe d'autant. Un débit froid deux fois plus faible se réchaufferait deux fois plus pour une même puissance ; on verra que la puissance baisse alors elle aussi, car aucun fluide ne peut dépasser l'écart des deux entrées.

8.2 Pourquoi une moyenne logarithmique

À travers un petit élément de paroi d'aire dA, le flux est proportionnel à l'écart local entre les deux fluides : dΦ = U · (t_c − t_f) · dA, où U est le coefficient global de transmission, en W/(m²·K). Cet écart change le long de l'appareil, puisque les deux fluides se rapprochent en échangeant. En écrivant les deux bilans sur l'élément et en intégrant, l'écart varie de façon exponentielle avec la surface parcourue, et la puissance totale prend une forme simple :

Φ = U · A · ΔT_lm, ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂) / ln(ΔT₁ / ΔT₂)

ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts entre les deux fluides aux deux extrémités de l'échangeur. Ce qui change d'un montage à l'autre, c'est quelles températures se font face à chaque bout :

Contre-courant

Les fluides entrent par les deux bouts opposés : ΔT₁ = t_c,e − t_f,s et ΔT₂ = t_c,s − t_f,e. L'eau froide qui sort rencontre l'eau chaude qui entre : elle peut sortir plus chaude que le fluide chaud ne sort.

Co-courant

Les fluides entrent par le même bout : ΔT₁ = t_c,e − t_f,e et ΔT₂ = t_c,s − t_f,s. Les deux sorties se rapprochent sans jamais se croiser : le froid sort toujours moins chaud que le chaud.

Pour les mêmes températures d'entrée et de sortie, le contre-courant offre toujours la plus grande moyenne, donc demande la plus petite surface. Exemple : de l'eau chaude passe de 70 à 50 °C et réchauffe de l'eau de 10 à 40 °C.

À puissance égale, le co-courant demande 1,246 fois la surface du contre-courant, soit 25 % de plus. Quand les deux écarts d'extrémité sont voisins, la moyenne arithmétique (35 K ici en contre-courant) donne presque le même résultat ; quand ils sont très différents, comme en co-courant, elle surestime nettement l'écart moyen et sous-dimensionne l'appareil.

Cas limite : si ΔT₁ = ΔT₂, la formule devient 0/0 et ΔT_lm vaut simplement cet écart. C'est le cas d'un contre-courant entre deux débits de même C, où l'écart reste le même tout le long de l'appareil.

8.3 Les autres montages : le facteur F, en bref

Beaucoup d'appareils ne sont ni à contre-courant pur ni à co-courant pur : échangeurs tubulaires à plusieurs passes, batteries à courants croisés. On garde alors la moyenne logarithmique calculée comme en contre-courant et on la multiplie par un facteur de correction F ≤ 1 :

Φ = U · A · F · ΔT_lm,contre

F dépend de deux rapports de températures, avec t pour le fluide côté tubes et T pour le fluide côté calandre :

P = (t₂ − t₁) / (T₁ − t₁) R = (T₁ − T₂) / (t₂ − t₁)

Pour l'échangeur tubulaire le plus courant, une passe côté calandre et deux passes côté tubes, la formule de Bowman, Mueller et Nagle (1940) s'écrit, pour R ≠ 1 :

F = √(R² + 1) · ln[(1 − P) / (1 − R·P)] / { (R − 1) · ln[ (2 − P(R + 1 − √(R² + 1))) / (2 − P(R + 1 + √(R² + 1))) ] }

Deux cas, eau côté calandre de 90 à 60 °C :

• eau côté tubes de 30 à 55 °C : P = 0,417, R = 1,2, F = 0,867. L'écart moyen utile vaut 0,867 × 32,44 = 28,12 K au lieu de 32,44 K en contre-courant pur ;
• eau côté tubes de 30 à 65 °C, soit une sortie froide plus chaude que la sortie chaude : P = 0,583, R = 0,857, F = 0,692.

Le second cas est mauvais : F chute vite près de la limite au-delà de laquelle le montage ne peut plus atteindre les températures demandées, et une petite erreur sur les températures change beaucoup la surface. On évite en pratique les valeurs de F inférieures à environ 0,75 à 0,8, ordre de grandeur d'usage, en mettant deux calandres en série ou en choisissant un appareil à contre-courant, comme un échangeur à plaques.

8.4 La méthode efficacité-NTU

La DTLM suppose connues les quatre températures, ce qui est le cas quand on dimensionne. En exploitation, la question est inverse : l'échangeur existe, que deviennent les sorties si un débit change ? La méthode efficacité-NTU y répond sans tâtonner, avec trois nombres sans dimension.

Efficacité ε

La puissance échangée rapportée à la plus grande puissance possible : ε = Φ / Φ_max, avec Φ_max = C_min · (t_c,e − t_f,e). Le maximum est atteint quand le fluide de plus petit C subit tout l'écart d'entrée, ce que permet seul un contre-courant de surface infinie, ou n'importe quel montage quand C_r = 0.

Nombre d'unités de transfert NTU

La taille thermique de l'appareil, rapportée au plus petit débit : NTU = U · A / C_min. Doubler la surface double le NTU.

Rapport des capacités C_r

C_r = C_min / C_max, entre 0 et 1. Il vaut 1 pour deux débits de même C et tend vers 0 quand l'un des fluides change d'état (vapeur qui condense, fluide frigorigène qui s'évapore) : sa température ne bouge plus, comme si son C était infini.

Pour chaque montage, ε ne dépend que de NTU et de C_r. Les relations classiques, que l'on trouve dans tous les manuels de transfert thermique :

contre-courant : ε = [1 − exp(−NTU(1 − C_r))] / [1 − C_r · exp(−NTU(1 − C_r))] si C_r = 1 : ε = NTU / (1 + NTU) co-courant : ε = [1 − exp(−NTU(1 + C_r))] / (1 + C_r) C_r = 0 : ε = 1 − exp(−NTU), quel que soit le montage

Une fois ε connu, tout le reste suit : Φ = ε · C_min · (t_c,e − t_f,e), puis chaque sortie par le bilan de 8.1.

Efficacité ε calculée par le modèle du cours. Le co-courant plafonne à 1 / (1 + C_r) : 0,5 pour deux débits égaux, quelle que soit la surface ajoutée. Le contre-courant tend vers 1.

Le tableau montre aussi les rendements décroissants : à C_r = 1 en contre-courant, passer de NTU 1 à 2 fait gagner 0,167 d'efficacité, passer de 3 à 5 n'en fait plus gagner que 0,083 pour une surface augmentée des deux tiers. Les dernières unités d'efficacité coûtent très cher.

Les deux méthodes sont la même physique : avec les sorties obtenues, ε · C_min · (t_c,e − t_f,e) égale toujours U · A · ΔT_lm.

8.5 Le banc : un échangeur à plaques ouvert

Un échangeur à plaques est un paquet de tôles embouties, serrées entre une plaque de bâti fixe et un plateau mobile par des tirants. Chaque plaque porte un joint qui ouvre l'espace entre elle et sa voisine à l'un des deux circuits seulement, et ferme par un joint annulaire les deux trous de l'autre circuit. Les deux fluides circulent ainsi une lame sur deux, en couches minces, le long de chevrons emboutis qui brassent l'écoulement. La figure montre l'appareil desserré, les plaques écartées le long de la barre porteuse.

L'eau chaude entre à 70 °C par le piquage haut de gauche, à 0,20 kg/s, et ressort par celui du bas ; l'eau froide, à 10 °C, passe par les deux piquages de droite. L'appareil a un UA de 1 700 W/K, tenu constant dans la figure : en réalité U augmente un peu avec le débit. À débits égaux, 0,20 kg/s de chaque côté, NTU = 2,03 et C_r = 1 :

• en contre-courant, ε = 0,67 : l'eau chaude sort à 29,8 °C, l'eau froide à 50,2 °C, pour 33,6 kW. L'écart entre les fluides vaut 19,78 K partout, et 1 700 × 19,78 redonne bien 33,6 kW ;
• en co-courant, ε = 0,49 : 40,5 °C et 39,5 °C, pour 24,7 kW seulement. Les deux sorties se touchent presque.

Le commutateur du pupitre inverse le sens de l'eau froide : le thermomètre du piquage froid du haut lit la sortie en contre-courant, l'entrée en co-courant. Survolez la figure pour faire varier le débit froid ; cliquez, ou appuyez sur Entrée, pour inverser le sens.

8.6 Le pincement

Le pincement est le plus petit écart de température entre les deux fluides, quelque part dans l'appareil. En contre-courant, il se trouve à l'une des deux extrémités ; en co-courant, toujours à la sortie. C'est lui qui limite ce qu'on peut obtenir : en contre-courant avec C_r < 1, ε ne s'approche de son maximum que de façon exponentielle avec le NTU, si bien que chaque division par deux du pincement ajoute à peu près la même surface, sans limite. À C_r = 0,5, avec les entrées du banc, il faut NTU = 4,16 pour un pincement de 4 K, 5,48 pour 2 K et 6,84 pour 1 K : environ 1,3 à 1,4 unité de plus à chaque division par deux. À C_r = 1, c'est pire : le pincement vaut l'écart d'entrée divisé par 1 + NTU, et il faut NTU = 14, 29 puis 59 pour les mêmes pincements.

Sur le banc, réduire le débit froid à 0,10 kg/s donne C_r = 0,5 et NTU = 4,07 :

• en contre-courant, l'eau froide sort à 65,8 °C et le pincement vaut 4,2 K, au bout où elle croise l'eau chaude qui entre à 70 °C ;
• en co-courant, l'eau froide plafonne à 49,9 °C et le pincement n'est plus que 0,1 K : l'appareil est surabondant, la surface du bout de sortie ne travaille presque plus.

À 0,05 kg/s en contre-courant, ε = 0,998 et l'eau froide sort à 69,9 °C, à 0,1 K de l'entrée chaude. C'est l'intérêt majeur du contre-courant : il peut amener le fluide de petit débit presque à la température d'entrée de l'autre.

8.7 Choisir un échangeur

Le choix part des températures : si la sortie froide doit dépasser la sortie chaude, ou si le pincement doit être faible, il faut un contre-courant, ou au moins un appareil dont le F reste élevé. Viennent ensuite les fluides :

• échangeur à plaques à joints : contre-courant presque pur, compact, U élevé grâce aux chevrons, démontable ; limité par ses joints (température, pression) et ses canaux étroits, qui craignent les eaux chargées ;
• tubulaire à calandre : robuste, pour les pressions et températures élevées et les fluides sales ; plus volumineux, souvent à plusieurs passes, donc un F à vérifier ;
• batterie à ailettes eau-air : l'air échange mal et fixe U, d'où les ailettes ; plusieurs rangs croisés à contre-courant de l'air approchent un contre-courant ;
• récupérateurs air-air : plaques croisées ou à contre-courant, roues, batteries à eau glycolée ; l'efficacité y est la grandeur de contrat.

Reste à payer la pression : plus de surface ou des canaux plus étroits, c'est plus de pertes de charge, que pompes et ventilateurs dépensent toute l'année.

8.8 Exemple : une batterie à eau chaude

Une batterie doit porter 2 500 m³/h d'air neuf de −5 °C à 20 °C, avec de l'eau à 70 °C qui repart à 50 °C. Elle a plusieurs rangs parcourus à contre-courant de l'air : on la traite comme un contre-courant, ce qui est une approximation.

1. Masse volumique de l'air à l'entrée : ρ = 101 325 / (287,06 × 268,15) = 1,316 kg/m³, soit q_m,a = 2 500 × 1,316 / 3 600 = 0,914 kg/s et C_a = 0,914 × 1 006 = 919,6 W/K.
2. Puissance : Φ = 919,6 × (20 − (−5)) = 22 990 W, soit 23,0 kW.
3. Débit d'eau : q_m,e = 22 990 / (4 180 × 20) = 0,275 kg/s, soit 990 kg/h, et C_e = 1 149,5 W/K.
4. Écarts d'extrémité : ΔT₁ = 70 − 20 = 50 K, ΔT₂ = 50 − (−5) = 55 K, d'où ΔT_lm = 52,46 K et UA = 22 990 / 52,46 = 438,2 W/K. En co-courant, ΔT_lm ne vaudrait que 49,11 K et il faudrait 6,8 % de surface en plus.
5. Fonctionnement à demi-débit d'eau, la vanne étant à moitié fermée, UA inchangé : C_e = 574,8 W/K devient C_min, C_r = 0,625, NTU = 438,2 / 574,8 = 0,762 et ε = 0,469.
6. Φ = 0,469 × 574,8 × (70 − (−5)) = 20,2 kW : l'air sort à 17,0 °C et l'eau repart à 34,8 °C.

Diviser le débit d'eau par deux ne retire que 12 % de la puissance, qui tombe à 87,9 % : l'eau ralentie se refroidit davantage et compense. La puissance d'une batterie répond donc mal au débit près du nominal, d'où le choix de la caractéristique des vannes et la question de leur autorité, traités plus loin. En réalité U baisse aussi un peu quand l'eau ralentit, et la perte réelle est un peu plus forte.

8.9 Exemple : un récupérateur à plaques

Une centrale double flux souffle 1,0 kg/s d'air neuf, soit environ 3 000 m³/h comptés à 20 °C, et extrait le même débit. Son récupérateur à plaques à contre-courant est donné pour ε = 0,80 à débits égaux. Dehors il fait −5 °C, l'air extrait est à 22 °C. On néglige ici la condensation côté extraction.

1. Taille de l'appareil : à C_r = 1, NTU = ε / (1 − ε) = 0,80 / 0,20 = 4,0, soit UA = 4,0 × 1 006 = 4 024 W/K.
2. Débits égaux : l'air neuf sort à −5 + 0,80 × 27 = 16,6 °C et Φ = 0,80 × 1 006 × 27 = 21,7 kW. L'air extrait repart à 0,4 °C.
3. Extraction réduite à 0,80 kg/s : C_min = 804,8 W/K est maintenant côté extraction, C_r = 0,8, NTU = 5,0 et ε = 0,896. Φ = 0,896 × 804,8 × 27 = 19,5 kW.
4. L'air neuf ne sort plus qu'à 14,3 °C : le rendement de température côté soufflage, (t_soufflage − t_ext) / (t_extrait − t_ext), tombe à 71,7 %, alors que l'efficacité ε a augmenté.
5. L'air extrait repart à −2,2 °C : avec un air intérieur humide, de l'eau condense puis gèle dans les plaques. Une dérivation ou une protection antigel devient nécessaire.
6. Le même appareil monté en co-courant plafonnerait à ε = 0,5 : soufflage à 8,5 °C. Les récupérateurs à plaques sont donc à courants croisés ou à contre-courant, jamais à co-courant.

L'efficacité ε se rapporte au plus petit débit ; le rendement de température se rapporte au soufflage, et les deux se séparent dès que les débits diffèrent. Le règlement européen d'écoconception des unités de ventilation, (UE) n° 1253/2014, définit le rendement thermique des unités non résidentielles côté soufflage, mesuré à débits massiques équilibrés et en conditions sèches, avec des essais selon la norme EN 308 ; il en exige au moins 73 % depuis 2018, 68 % pour les systèmes à batteries reliées par un fluide caloporteur. Ce minimum se vérifie à débits égaux : en service, le déséquilibre de l'étape 3 suffit à faire passer l'appareil de 80 % à 71,7 % côté soufflage, sous le seuil.

À retenir

• Le bilan des deux fluides se lit avec C = q_m · c_p : le plus petit C subit le plus grand écart de température.
• Φ = U · A · ΔT_lm : la moyenne logarithmique des écarts d'extrémité, corrigée par F pour les montages mixtes.
• À températures égales, le contre-courant demande la plus petite surface ; le co-courant ne peut pas croiser les sorties et plafonne à ε = 1 / (1 + C_r).
• La DTLM dimensionne ; ε-NTU fait fonctionner un appareil connu : Φ = ε · C_min · (t_c,e − t_f,e).
• En contre-courant avec C_r < 1, chaque division par deux du pincement ajoute à peu près la même surface ; à C_r = 1, il faut plus que doubler le NTU. Les derniers points d'efficacité sont les plus chers.
• Une batterie perd peu de puissance quand son débit d'eau baisse ; un récupérateur perd du rendement côté soufflage quand ses débits se déséquilibrent.

Sources publiques : F. P. Incropera, D. P. DeWitt et coll., Fundamentals of Heat and Mass Transfer (Wiley), chapitre des échangeurs, pour la DTLM et les relations efficacité-NTU ; W. M. Kays et A. L. London, Compact Heat Exchangers (McGraw-Hill), pour la méthode efficacité-NTU ; R. A. Bowman, A. C. Mueller et W. M. Nagle, « Mean temperature difference in design », Transactions of the ASME 62 (1940), pour le facteur F ; norme EN 308 (édition 2022, qui remplace celle de 1997), méthodes d'essai des récupérateurs de chaleur air-air ; règlement (UE) n° 1253/2014 sur l'écoconception des unités de ventilation, annexes I et III, pour la définition du rendement thermique et ses minimums de 2018. Capacités thermiques de l'eau et de l'air arrondies. Tous les nombres de ce chapitre sont calculés par le modèle du cours, vérifié par une intégration numérique pas à pas des deux bilans.