Écoulements et pertes de charge

Une pompe ou un ventilateur ne sert qu'à une chose : rendre au fluide l'énergie que le réseau lui prend en frottements et en remous. Ce chapitre pose les grandeurs de l'écoulement, explique d'où vient la perte de charge et donne les méthodes pour la calculer, dans un tube de chauffage comme dans une gaine d'air.

9.1 Débit, vitesse, continuité

Le débit volumique q_v est le volume qui traverse une section par seconde. Rapporté à l'aire de la section, il donne la vitesse moyenne du fluide ; multiplié par la masse volumique, le débit massique :

q_v = v · A, q_m = ρ · q_v, A = π D² / 4

En régime permanent, la masse ne s'accumule nulle part : le débit massique est le même dans toutes les sections d'une conduite sans dérivation. C'est l'équation de continuité, ρ₁ v₁ A₁ = ρ₂ v₂ A₂. L'eau est pratiquement incompressible. L'air d'une installation de ventilation l'est aussi en pratique, parce que les pressions du réseau ne s'écartent de la pression atmosphérique que de quelques centaines de pascals. Le débit volumique se conserve donc, et la vitesse varie comme l'inverse de la section. Quand un tube passe de 20 à 15 mm de diamètre intérieur, la vitesse est multipliée par (20/15)², soit 1,78.

Les unités du métier se mélangent : m³/h pour l'air, L/h ou m³/h pour l'eau, m/s pour les vitesses. 1 L/s vaut 3,6 m³/h, et 1 m³/h vaut 1/3 600 m³/s. Beaucoup d'erreurs de calcul viennent de là.

9.2 Bernoulli : pressions statique, dynamique et totale

Le long d'un filet de fluide parfait (sans viscosité) et en régime permanent, l'énergie mécanique par unité de volume se conserve. C'est le théorème de Bernoulli :

p + ρ g z + ρ v² / 2 = constante

Pression statique p

Celle que lit un manomètre raccordé à une prise percée perpendiculairement à la paroi, que le courant ne frappe pas. C'est elle qui fait monter l'eau dans les tubes de la figure 9.1.

Pression dynamique p_d

p_d = ρ v² / 2, l'énergie cinétique par unité de volume. Pour de l'eau à 20 °C à 1 m/s, elle vaut 499 Pa. Pour de l'air à 20 °C, elle vaut 15,1 Pa à 5 m/s et 60,2 Pa à 10 m/s : en aéraulique, la pression dynamique n'est pas négligeable devant les pertes d'un réseau (19,3 Pa pour 86,6 Pa de pertes dans l'exemple 9.9).

Pression totale p_t

La somme p_t = p + ρ v² / 2, celle que lit un tube tourné face au courant. Sa mesure, avec le tube de Pitot, est l'objet du chapitre 10.

Un fluide réel frotte. Entre deux sections 1 et 2 dans le sens de l'écoulement, l'énergie n'est plus constante. Elle décroît, et cette décroissance est la perte de charge Δp :

p₁ + ρ g z₁ + ρ v₁² / 2 = p₂ + ρ g z₂ + ρ v₂² / 2 + Δp

En hydraulique, on divise volontiers par ρg pour parler en hauteurs. p/(ρg) + z est la hauteur piézométrique, et v²/(2g) la hauteur dynamique : 5,10 cm d'eau à 1 m/s. Pour l'eau à 20 °C, 1 m de colonne d'eau (m CE) vaut 9 789 Pa, et 1 bar vaut 10,2 m CE. Le mètre de colonne d'eau conventionnel des catalogues, défini avec 1 000 kg/m³ et g normal, vaut 9 806,65 Pa : l'écart, 0,2 %, ne compte pas en pratique.

9.3 Le nombre de Reynolds et les régimes d'écoulement

Osborne Reynolds a montré en 1883, en injectant un filet coloré dans un tube de verre, que l'écoulement prend deux formes. À faible vitesse, le filet reste droit : les couches de fluide glissent les unes sur les autres, et l'écoulement est laminaire. Au-delà d'un seuil, le filet se déchire et colore tout le tube : l'écoulement devient turbulent, brassé de tourbillons. Le seuil ne dépend pas de la vitesse seule. Il dépend d'un nombre sans dimension qui compare l'inertie du fluide à sa viscosité :

Re = v · D / ν, ν = μ / ρ

ν est la viscosité cinématique. Elle vaut 1,00·10⁻⁶ m²/s pour l'eau à 20 °C et 4,71·10⁻⁷ m²/s à 60 °C, car l'eau chaude coule plus facilement. Pour l'air à 20 °C, elle vaut 1,51·10⁻⁵ m²/s, quinze fois celle de l'eau.

Les seuils 2300 et 4000 sont des conventions usuelles : un tube très calme peut rester laminaire plus loin. Dans la zone de transition, le modèle du cours interpole entre les deux lois, ce qui est une convention de calcul et non une loi physique.

Dans le bâtiment, l'écoulement est presque toujours turbulent. De l'eau à 20 °C à 1 m/s dans un tube de 20 mm donne Re = 19 929. Pour rester laminaire dans ce tube, il faudrait descendre sous 0,115 m/s. De l'air à 5 m/s dans une gaine de 250 mm donne Re = 83 002.

9.4 Pertes linéaires : la formule de Darcy-Weisbach

Dans une longueur droite L de conduite de diamètre D, la perte de charge est proportionnelle à la longueur, à la pression dynamique et à un coefficient de frottement λ, dit coefficient de Darcy, et inversement proportionnelle au diamètre :

Δp = λ · (L / D) · ρ v² / 2

Ramenée au mètre, c'est la perte de charge linéique R = λ / D · ρ v² / 2, en Pa/m. Toute la difficulté se concentre dans λ. En régime laminaire, la loi de Hagen-Poiseuille la donne exactement : λ = 64 / Re, indépendamment de la paroi. En régime turbulent, λ dépend de Re et de la rugosité relative ε/D, rapport entre une hauteur équivalente des aspérités de la paroi (voir 9.5) et le diamètre. La référence est l'équation de Colebrook-White (1939), implicite, que l'on résout par itérations :

1 / √λ = −2 log₁₀( ε / (3,7 D) + 2,51 / (Re √λ) )

Deux formules explicites la remplacent sans itération, celle de Swamee et Jain (1976) et celle de Haaland (1983) :

λ = 0,25 / [ log₁₀( ε / (3,7 D) + 5,74 / Re^0,9 ) ]²

1 / √λ = −1,8 log₁₀[ (ε / (3,7 D))^1,11 + 6,9 / Re ]

Valeurs calculées par le modèle du cours. Sur Re de 4·10³ à 10⁸ et ε/D de 10⁻⁶ à 10⁻², l'écart maximal mesuré à Colebrook vaut 3,1 % pour Swamee-Jain et 1,4 % pour Haaland : bien moins que l'incertitude sur la rugosité elle-même.

Le diagramme de Moody (1944) trace ces courbes. Il montre trois choses. λ décroît quand Re croît. Une paroi rugueuse frotte plus qu'une paroi lisse. Aux grands Re, chaque courbe rugueuse devient horizontale : λ ne dépend plus que de ε/D, et la perte varie exactement comme v². Pour un tube lisse, la vieille loi de Blasius, λ = 0,316 / Re^0,25, suit Colebrook à 2,7 % près entre Re = 10⁴ et 10⁵. Elle montre que la perte y croît plutôt comme v^1,75.

Une gaine rectangulaire se calcule comme un conduit circulaire de diamètre hydraulique D_h = 4 A / P, avec P le périmètre mouillé. Pour une gaine de 400 × 200 mm, D_h = 267 mm. En régime turbulent, ce diamètre donne une bonne approximation de la perte linéique à vitesse égale, pas à débit égal.

9.5 Rugosités typiques

La rugosité ε n'est pas une cote de fabrication. C'est une rugosité de sable équivalente, déduite d'essais de perte de charge, qui varie d'un lot à l'autre et augmente avec l'âge (tartre, corrosion, encrassement). Les valeurs suivantes sont des ordres de grandeur courants dans les manuels, à utiliser comme tels.

L'effet dépend de ε/D, donc les petits tubes y sont les plus sensibles. Prenons le débit de l'exemple 9.8 dans un tube de 20 mm et ne changeons que la paroi. Cuivre (ε = 0,0015 mm) : λ = 0,0273 et R = 101 Pa/m. Acier neuf (0,045 mm) : λ = 0,0312 et R = 115 Pa/m. Acier galvanisé (0,15 mm) : λ = 0,0384 et R = 142 Pa/m. Acier entartré (0,5 mm) : λ = 0,0551 et R = 203 Pa/m, soit le double du cuivre.

9.6 Pertes singulières

Coudes, tés, vannes, changements de section, entrées et sorties dévient ou décollent l'écoulement. Les tourbillons qu'ils créent dissipent de l'énergie sur une courte longueur. On rapporte cette perte à la pression dynamique par un coefficient de perte singulière ζ, sans dimension :

Δp = ζ · ρ v² / 2

Ordres de grandeur seulement. Pour un calcul d'exécution, prendre les valeurs du fabricant (souvent données sous forme de K_v pour les robinets) ou celles d'un recueil spécialisé, et rapporter ζ à la vitesse indiquée par la source.

Deux cas se calculent. La sortie dans un grand volume perd toute l'énergie cinétique : ζ = 1. L'élargissement brusque suit la formule de Borda-Carnot, ζ = (1 − A₁ / A₂)², rapporté à la vitesse amont. Elle donne 0,13 pour un passage de 20 à 25 mm et 0,56 de 20 à 40 mm. On exprime aussi une singularité par sa longueur équivalente L_éq = ζ D / λ, la longueur de tube droit qui perdrait autant.

Le banc de la figure 9.1 rend tout cela visible. Une vanne amont règle le débit d'eau à 20 °C, lu sur un rotamètre. L'eau traverse un tube lisse de 20 mm, puis se jette sous la surface d'un bac à niveau constant, dont le plan d'eau est 10 cm au-dessus de l'axe du tube. Sept tubes de verre verticaux montrent la hauteur piézométrique. Le diamètre est constant, donc la hauteur dynamique est la même partout, et chaque baisse de niveau d'un tube au suivant est une perte de charge. À 900 L/h, la vitesse vaut 0,80 m/s, Re = 15 859 et λ = 0,0276. La hauteur dynamique vaut 3,23 cm. Chaque tronçon droit de 30 cm perd 1,33 cm, soit 4,45 cm par mètre. Le coude (ζ ≈ 0,75) perd d'un coup 2,42 cm, autant que 0,54 m de tube. Le robinet à soupape (ζ ≈ 6) perd 19,4 cm, autant que 4,35 m de tube. Entre les prises qui encadrent chaque raccord, la baisse lue additionne la singularité et le frottement du tube voisin : 4,87 cm autour du coude, 21,6 cm autour du robinet. Au-dessus de l'axe, le premier tube monte à 42,9 cm, le dernier à 11,1 cm.

Faites varier le débit sur la figure. Entre 600 et 1200 L/h, la perte de la prise 1 à la prise 7 passe de 14,6 à 55,3 cm. Le débit double, et la perte est multipliée par 3,79, un peu moins que 4, parce que λ diminue quand Re augmente.

9.7 La courbe de réseau

Dans une branche de diamètre constant, la vitesse vaut q_v/A. Pertes linéaires et singulières s'additionnent :

Δp = ( λ L / D + Σζ ) · ρ v² / 2 = K · q_v²

Si λ et les ζ restent constants, ce qui est vrai en régime pleinement rugueux et approché ailleurs, la perte varie comme le carré du débit. Cette parabole est la courbe de réseau. Son intersection avec la courbe de la pompe ou du ventilateur fixe le point de fonctionnement (chapitres 22, 23 et 32). Avec 20 % de débit en plus, la parabole pure donne 1,2² = 1,44 fois la perte. Le calcul complet de l'exemple 9.8 donne 1,39, car λ baisse un peu avec Re. Pour l'air (exemple 9.9), passer de 1 000 à 1 300 m³/h fait monter la perte de 86,6 à 144,0 Pa, contre 146,4 Pa pour la loi en q² stricte. La loi en carré reste donc une très bonne règle de pensée.

La puissance transmise au fluide vaut P = q_v · Δp. Elle croît donc à peu près comme le cube du débit. Augmenter le débit coûte cher : 30 % de débit d'air en plus demandent 2,16 fois plus de puissance à l'air dans l'exemple 9.9.

9.8 Exemple : un circuit d'eau de chauffage

Un circuit transporte 10 kW en régime 70/50 °C dans un tube cuivre 22 × 1 (diamètre intérieur 20 mm). Le parcours aller et retour fait 30 m, avec des coudes, des tés et deux robinets totalisant Σζ = 10.

1. Débit massique : q_m = Φ / (c_p Δt) = 10 / (4,18 × 20) = 0,1196 kg/s, avec c_p = 4,18 kJ/(kg·K), valeur usuelle.
2. Propriétés à la température moyenne de 60 °C : ρ = 983,2 kg/m³ et ν = 4,71·10⁻⁷ m²/s. Débit volumique : 0,1196 / 983,2 = 1,217·10⁻⁴ m³/s, soit 438 L/h.
3. Vitesse : v = 1,217·10⁻⁴ / (π × 0,020² / 4) = 0,387 m/s. Reynolds : Re = 0,387 × 0,020 / 4,71·10⁻⁷ = 16 444, turbulent. Il faudrait moins de 0,054 m/s pour être laminaire.
4. Frottement : ε/D = 0,0015 / 20 = 7,5·10⁻⁵, d'où λ = 0,0273 par Colebrook. Swamee-Jain donne la même valeur à trois chiffres.
5. Pression dynamique : ρ v²/2 = 73,7 Pa. Perte linéique : R = 0,0273 / 0,020 × 73,7 = 101 Pa/m. Sur 30 m : 3 021 Pa.
6. Pertes singulières : 10 × 73,7 = 737 Pa.
7. Total : Δp = 3 021 + 737 = 3 758 Pa, soit 3,8 kPa ou 0,39 m CE d'eau à 60 °C. C'est la hauteur que le circulateur doit fournir à ce débit pour cette branche.

Une perte linéique d'environ 100 Pa/m est dans la zone que les habitudes de dimensionnement visent souvent pour la distribution de chauffage. Ce n'est pas une valeur normative. Si l'on force 20 % de débit en plus, la perte monte à 5 223 Pa.

9.9 Exemple : une gaine d'air

Une gaine circulaire de 250 mm en tôle galvanisée transporte 1 000 m³/h d'air à 20 °C sur 25 m, avec deux coudes, une grille et un registre totalisant Σζ = 2,5.

1. Débit : 1 000 / 3 600 = 0,278 m³/s. Section : π × 0,25² / 4 = 0,0491 m². Vitesse : v = 5,66 m/s.
2. Air à 20 °C et 101 325 Pa : ρ = 1,204 kg/m³ et ν = 1,51·10⁻⁵ m²/s. Re = 5,66 × 0,25 / 1,51·10⁻⁵ = 93 939, turbulent.
3. Frottement : ε ≈ 0,09 mm, donc ε/D = 3,6·10⁻⁴ et λ = 0,0199 par Colebrook. Swamee-Jain donne 0,0200 et Haaland 0,0196.
4. Pression dynamique : 1,204 × 5,66² / 2 = 19,3 Pa. Perte linéique : R = 0,0199 / 0,25 × 19,3 = 1,54 Pa/m. Sur 25 m : 38,4 Pa.
5. Pertes singulières : 2,5 × 19,3 = 48,2 Pa, plus que tout le parcours droit.
6. Total : Δp = 38,4 + 48,2 = 86,6 Pa. Puissance transmise à l'air : 0,278 × 86,6 = 24,1 W, avant les rendements du ventilateur et du moteur.

À 1 300 m³/h, la vitesse passe à 7,36 m/s (Re = 122 121), la perte à 144,0 Pa et la puissance à l'air à 52,0 W. En aéraulique, une seule singularité mal dessinée pèse souvent plus que des mètres de gaine droite. Soigner les coudes, les piquages et les registres paie davantage que gagner quelques mètres.

À retenir

• Continuité : le débit se conserve, et la vitesse varie comme l'inverse de la section.
• Pression totale = statique + dynamique. Avec le terme de hauteur ρgz, cette énergie ne fait que décroître dans le sens de l'écoulement en l'absence de pompe ou de ventilateur, et cette baisse est la perte de charge.
• Re = vD/ν fixe le régime ; dans le bâtiment, l'écoulement est presque toujours turbulent.
• Pertes linéaires : Δp = λ (L/D) ρv²/2, λ = 64/Re en laminaire, Colebrook (ou Swamee-Jain, Haaland) en turbulent.
• Pertes singulières : Δp = ζ ρv²/2 ; ζ et ε sont des ordres de grandeur, à remplacer par les données du fabricant pour un calcul d'exécution.
• Un réseau suit à peu près Δp ∝ q², et la puissance à peu près P ∝ q³.

Sources publiques : O. Reynolds (1883), Phil. Trans. R. Soc. 174 ; H. Darcy (1857) et J. Weisbach (1845) pour la loi des pertes linéaires ; G. Hagen (1839) et J. Poiseuille (1840) pour l'écoulement laminaire ; C. F. Colebrook (1939), J. Inst. Civil Eng. 11 ; L. F. Moody (1944), Trans. ASME 66 ; P. K. Swamee et A. K. Jain (1976), J. Hydraulics Div. ASCE 102 ; S. E. Haaland (1983), J. Fluids Eng. 105 ; H. Blasius (1913) ; G. S. Kell (1975), J. Chem. Eng. Data 20, pour la masse volumique de l'eau ; corrélation de Vogel pour sa viscosité ; loi de Sutherland pour la viscosité de l'air ; formule de Borda-Carnot ; g = 9,80665 m/s² (valeur normale). Rugosités et coefficients ζ : ordres de grandeur usuels des manuels généraux de mécanique des fluides. Tous les nombres de ce chapitre sont calculés par le modèle du cours.