Apports solaires et inertie

Par une journée claire de juillet, une baie ouest laisse entrer dans un bureau plus de puissance que ses deux occupants, leurs écrans et l'éclairage réunis. Pourtant la batterie froide ne voit pas ce pic au moment où il arrive : la lumière chauffe d'abord les sols et les murs, qui la rendent à l'air plus tard et plus faiblement. Ce chapitre calcule d'où vient le soleil, combien il en entre, et ce que la masse du local en fait.

On garde le bureau de référence des chapitres 19 à 21 : deux personnes à Paris, au 3^e étage, 5,4 m de façade sur 4,0 m de profondeur et 2,8 m de hauteur, soit 21,6 m² au sol. La seule paroi extérieure regarde plein ouest et porte 7,56 m² de vitrage (U_w = 1,3 W/(m²·K), g = 0,35) et 7,56 m² de mur opaque (U = 0,25 W/(m²·K), absorptivité 0,7). Un store extérieur à lames ramène le facteur solaire de l'ensemble à 0,08. Les autres parois donnent sur des locaux à la même température. Ce sont des hypothèses d'exemple, pas des valeurs à recopier. Les charges internes sont au chapitre 19, le bilan complet au chapitre 21.

20.1 Où est le soleil

La position du soleil dépend du jour de l'année n, de la latitude φ et de l'heure. Le jour fixe la déclinaison δ, latitude du point de la Terre où le soleil passe au zénith à midi. La formule de Cooper suffit pour un ordre de grandeur :

δ = 23,45° · sin( 360° · (284 + n) / 365 )

Le modèle du cours utilise la série de Spencer, plus fidèle à la forme de l'année, avec B = (n − 1) · 360° / 365 :

δ = 0,006918 − 0,399912 cos B + 0,070257 sin B − 0,006758 cos 2B + 0,000907 sin 2B − 0,002697 cos 3B + 0,00148 sin 3B (rad)

Le 21 juillet (n = 202), elle donne δ = 20,64°, et Cooper 20,44°. Les éphémérides (algorithme de la NOAA, d'après Meeus) donnent 20,3° à 20,5° à midi selon l'année (20,41° en 2026) : une formule indexée sur le seul numéro du jour ne fait pas mieux que quelques dixièmes de degré, ce qui reste sans effet pour un calcul de charge.

L'heure qui compte est l'heure solaire vraie, celle où le soleil culmine à 12 h. On la tire de l'heure légale en retirant son avance de 2 h sur le temps universel en été (UTC+2), en ajoutant la longitude (4 minutes par degré à l'est de Greenwich) et l'équation du temps E, qui corrige l'orbite elliptique et l'inclinaison de l'axe :

t_sol = t_légale − 2 h + λ / 15 + E / 60 E = 229,2 · (0,000075 + 0,001868 cos B − 0,032077 sin B − 0,014615 cos 2B − 0,04089 sin 2B) (min) ω = 15° · (t_sol − 12)

L'angle horaire ω est nul à midi solaire, négatif le matin, positif l'après-midi. À Paris (λ = 2,35° E) le 21 juillet, E = −6,35 min, et le midi solaire tombe à 13 h 57 à l'heure légale. Ce simple décalage explique déjà pourquoi la façade ouest d'un bureau français chauffe surtout en fin de journée de travail.

La hauteur h du soleil au-dessus de l'horizon et son azimut γ_s, compté ici depuis le sud et positif vers l'ouest, s'écrivent :

sin h = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos ω cos γ_s = (sin h sin φ − sin δ) / (cos h cos φ), γ_s du signe de ω

Le lever et le coucher correspondent à sin h = 0, soit cos ω_s = −tan φ tan δ. À 48,85° N le 21 juillet, ω_s = 115,53° : le soleil se lève à 6 h 15, se couche à 21 h 39, et le jour dure 15,4 h. À midi solaire il monte à 61,79°.

20.2 L'angle d'incidence sur une façade

Une paroi ne reçoit le rayonnement direct qu'en proportion du cosinus de l'angle θ entre les rayons et sa normale. Pour une paroi verticale d'azimut γ :

cos θ = cos h · cos(γ_s − γ)

Un cosinus négatif signifie que le soleil est derrière la paroi : le direct est nul. Pour une façade ouest (γ = 90°), la formule se simplifie en

cos θ = cos δ · sin ω

La façade ouest ne voit donc pas le soleil direct avant midi solaire (ω < 0), ici avant 13 h 57 à l'heure légale. Ensuite cos θ croît avec ω tant que le soleil est levé. Le soleil le plus « en face » est aussi le plus bas, celui que l'atmosphère affaiblit le plus : le maximum d'éclairement résulte d'un compromis entre géométrie et absorption, qu'on chiffre au paragraphe suivant.

20.3 Combien de soleil par ciel clair

Hors atmosphère, l'éclairement normal vaut la constante solaire G_sc = 1 361 W/m², corrigée de la distance Terre-Soleil :

G_on = G_sc · (1 + 0,033 cos(360° · n / 365))

Le 21 juillet, la Terre est près de son aphélie et G_on = 1 318,6 W/m². Pour la traversée de l'atmosphère, le cours retient un modèle public simple de ciel clair, présenté comme tel : la transmittance directe de Hottel (1976), avec les coefficients de l'atmosphère standard « latitudes moyennes, été » et une altitude de 0,05 km, et la corrélation de Liu et Jordan (1960) pour le diffus horizontal.

τ_b = a₀ + a₁ · exp(−k / sin h) B_n = G_on · τ_b τ_d = 0,271 − 0,294 τ_b D_h = G_on · sin h · τ_d

Sur la façade, on additionne trois termes : le direct B_n cos θ, la moitié du diffus horizontal (ciel isotrope, une paroi verticale voit la moitié de la voûte) et le rayonnement réfléchi par le sol, ρ · G_h / 2 avec un albédo ρ = 0,2 :

I = B_n · max(0, cos θ) + D_h / 2 + ρ · G_h / 2

Ce modèle donne un ciel parfaitement clair et sec. Une étude réelle utilise des données climatiques horaires mesurées, traitées par les méthodes de l'EN ISO 52010-1 ; un ciel brumeux de ville donne moins de direct et plus de diffus. Les ordres de grandeur et surtout la forme de la journée restent ceux du tableau ci-dessous.

Façade ouest, Paris, 21 juillet, ciel clair (Hottel, Liu-Jordan, sol d'albédo 0,2). Φ = A · g · I avec A = 7,56 m², g = 0,35 store relevé et 0,08 store baissé. Un tiret signale un soleil derrière la façade. Valeurs calculées par le modèle du cours.

Le matin, la façade ne reçoit que du diffus et du réfléchi, 125 W/m² à midi. Dès que le soleil passe à l'ouest, l'éclairement est multiplié par 4,1 entre 14 h et 17 h, et culmine à 635 W/m² à 17 h 54. L'apport sans store culmine au même instant, à 1 680 W.

20.4 Le facteur solaire et l'apport instantané

Le facteur solaire g d'un vitrage est la fraction de l'éclairement incident qui finit dans la pièce : la part transmise directement, plus la part absorbée par le verre puis cédée vers l'intérieur. Il se mesure ou se calcule selon l'EN 410. Un double vitrage clair est autour de 0,6 (avec couche peu émissive) à 0,75 (sans couche) ; un vitrage à contrôle solaire comme celui de l'exemple descend vers 0,35. Ce sont des ordres de grandeur ; la valeur d'un produit se lit sur sa fiche.

Une protection solaire se combine au vitrage en un facteur g_tot, calculé selon l'EN ISO 52022-1 (méthode simplifiée) ou mesuré. La position compte autant que le produit : un store extérieur arrête le rayonnement avant le verre, et la chaleur qu'il absorbe repart dehors ; un store intérieur absorbe derrière le verre et réchauffe la pièce. Le store de l'exemple fait passer g de 0,35 à 0,08, soit 77,1 % d'apport en moins.

L'apport solaire instantané par une baie s'écrit alors simplement :

Φ = A · g · I

Le modèle du cours prend g à incidence normale. En toute rigueur g baisse quand θ augmente, et le cadre, l'ébrasement et les débords portent de l'ombre ; ces corrections réduisent l'apport et le cours les laisse de côté pour garder la physique lisible.

La partie opaque de la façade reçoit le même soleil, mais une paroi isolée en laisse passer très peu. La méthode classique de la température équivalente (soleil-air) ajoute à l'air extérieur un échauffement α · I / h_e, avec h_e = 25 W/(m²·K) ; le flux traverse ensuite la paroi par son coefficient U, comme au chapitre 5. À 18 h, cet échauffement vaut 0,7 × 634,6 / 25 = 17,77 K, et cet échauffement n'ajoute au flux du mur de 1,89 W/K que 33,6 W au plus fort de la journée. Le vitrage domine de loin : c'est lui qu'il faut protéger.

20.5 Exemple : l'apport à 18 h

Le bureau de référence, le 21 juillet à 18 h, heure légale, store relevé.

1. Jour n = 202 : δ = 20,64°, E = −6,35 min, G_on = 1 318,6 W/m².
2. Temps solaire : t_sol = 18 − 2 + 2,35 / 15 − 6,35 / 60 = 16,05 h, donc ω = 15 × 4,051 = 60,76°.
3. Position : sin h = sin 48,85° sin 20,64° + cos 48,85° cos 20,64° cos 60,76°, d'où h = 34,48°. L'azimut vaut γ_s = 82,17° : le soleil est presque plein ouest.
4. Incidence : cos θ = cos 20,64° × sin 60,76° = 0,8166, soit θ = 35,3°.
5. Atmosphère : τ_b = 0,50323, donc B_n = 1 318,6 × 0,50323 = 663,6 W/m², et le direct sur la façade vaut 663,6 × 0,8166 = 541,9 W/m².
6. Diffus horizontal 91,9 W/m², dont la façade voit la moitié, 45,9 W/m². Global horizontal 467,6 W/m², d'où un réfléchi de 0,2 × 467,6 / 2 = 46,8 W/m². Total : I = 634,6 W/m².
7. Apport : Φ = 7,56 × 0,35 × 634,6 = 1 679 W. Store baissé : 7,56 × 0,08 × 634,6 = 384 W.

À titre de comparaison, deux personnes, l'éclairage, deux postes et une imprimante font ensemble 602,8 W sensibles (chapitre 19). Sans store, le soleil de fin d'après-midi en apporte 2,8 fois plus.

20.6 Un apport n'est pas une charge

Le rayonnement qui traverse la vitre ne chauffe presque pas l'air : l'air est transparent. Il tombe sur le sol, les meubles et les murs, qui s'échauffent. Ces surfaces rendent ensuite la chaleur à l'air par convection et aux autres surfaces par rayonnement. La batterie froide, elle, ne retire que la chaleur arrivée dans l'air. On distingue donc :

L'apport Φ

La puissance qui entre dans le local à l'instant, ici A · g · I.

La charge

La puissance qu'il faut retirer de l'air au même instant pour le tenir à la consigne. C'est elle que voit la batterie froide et qui dimensionne l'installation.

Entre les deux, la masse du local joue un rôle de réservoir. Un local léger (faux plafond, plancher technique, cloisons en plaques) a peu de masse accessible au rayonnement : il se réchauffe vite et rend vite. Un local lourd (dalles de béton apparentes au sol et au plafond) absorbe la tache de soleil dans une vingtaine de tonnes de béton, s'échauffe à peine et rend lentement. Sur une journée, en régime périodique, l'énergie est la même : la masse ne fait pas disparaître la chaleur, elle la décale et écrête le pic.

La température de consigne de 26 °C reste ici une température d'air. Le chapitre 14 montre que le confort dépend aussi des parois et de la tache de soleil sur l'occupant : une pièce lourde garde des surfaces plus fraîches, ce qui joue en sa faveur.

20.7 Un modèle RC de la pièce

Pour chiffrer ce décalage, le cours reprend le schéma 5R1C de la méthode horaire simplifiée de l'EN ISO 13790:2008. Cette norme a été remplacée par l'EN ISO 52016-1:2017, dont la méthode horaire décrit chaque paroi par plusieurs nœuds ; le 5R1C reste le modèle d'enseignement le plus court qui garde la physique. Il comporte trois nœuds de température :

θ_air

l'air du local, relié au nœud de surface par H_is = h_is · A_t, avec h_is = 3,45 W/(m²·K) et A_t = 4,5 · A_f ;

θ_s

un nœud « étoile » qui moyenne les surfaces intérieures, relié au dehors par les vitrages H_w = U_w · A_w ;

θ_m

la masse, de capacité C_m, reliée au nœud de surface par H_ms = h_ms · A_m avec h_ms = 9,1 W/(m²·K), et au dehors par H_em, la part de la paroi opaque derrière la masse.

L'apport solaire Φ se répartit entre les nœuds en proportion des surfaces : la masse en reçoit la fraction A_m / A_t, le nœud de surface le reste, moins une petite part rendue au vitrage.

Φ_m = (A_m / A_t) · Φ Φ_st = (1 − A_m / A_t − H_w / (9,1 · A_t)) · Φ

L'EN ISO 13790 fournissait des valeurs forfaitaires par classe d'inertie. Le cours retient la classe « très légère » (A_m = 2,5 A_f, C_m = 80 kJ/K par m² de plancher) pour la version avec faux plafond et plancher technique, et la classe « lourde » (A_m = 3,0 A_f, C_m = 260 kJ/K par m²) pour la version à dalles apparentes.

Quand un système idéal tient l'air à la consigne, θ_air est fixé et le nœud de surface n'a pas de capacité : il s'élimine. Il ne reste qu'un nœud capacitif, la masse, reliée à une conductance équivalente :

H_s = H_ms + H_is + H_w H_eq = H_ms + H_em − H_ms² / H_s C_m · dθ_m/dt = Φ_m + (H_ms / H_s) · Φ_st − H_eq · θ_m θ_s = (Φ_st + H_ms · θ_m) / H_s charge = H_is · θ_s

Les températures sont comptées à partir de la consigne. On ne calcule ici que la part solaire de la charge : par superposition, l'air extérieur et les locaux voisins sont pris à la même température que le local. Les autres parts passent par le même schéma, aux chapitres 19 et 21 : la moitié des apports internes, dite convective, va directement à l'air, l'autre moitié se répartit entre les nœuds comme le soleil ; le soleil absorbé par le mur se répartit comme le soleil transmis ; la conduction du vitrage arrive au nœud de surface, celle du mur au nœud de masse. C'est un circuit RC du premier ordre, de constante de temps τ = C_m / H_eq. Le terme Φ_st · H_is / H_s passe tout de suite dans l'air ; le reste charge la masse et revient à l'air avec le retard τ.

Ces classes forfaitaires se vérifient par la capacité thermique quotidienne κ des parois, calculée par la méthode matricielle de l'EN ISO 13786:2017. Pour le bureau, une dalle de béton de 20 cm vue de dessus donne κ = 71,55 kJ/(m²·K), vue de dessous 107,06 kJ/(m²·K), une cloison en plaques sur laine 11,85 kJ/(m²·K). Rapporté au plancher, le local lourd donne 202,9 kJ/K par m² et le local léger 53,4 kJ/K par m². Les forfaits sont donc du bon ordre de grandeur, mais généreux : ils dépassent ce calcul d'environ 30 % pour la classe lourde et de 50 % pour la classe très légère.

20.8 Exemple : pièce légère ou pièce lourde

Même bureau, même journée, store relevé, air tenu à 26 °C jour et nuit, la même journée répétée jusqu'au régime périodique.

1. Surfaces : A_t = 4,5 × 21,6 = 97,2 m². Léger : A_m = 2,5 × 21,6 = 54,0 m² et C_m = 80 × 21,6 = 1 728 kJ/K. Lourd : A_m = 64,8 m² et C_m = 5 616 kJ/K.
2. Conductances : H_is = 3,45 × 97,2 = 335,3 W/K, H_w = 1,3 × 7,56 = 9,83 W/K, H_em = 1,90 W/K. Léger : H_ms = 9,1 × 54,0 = 491,4 W/K. Lourd : H_ms = 589,7 W/K.
3. Répartition : léger, A_m / A_t = 0,556 et Φ_st / Φ = 0,433 ; lourd, 0,667 et 0,322. La part qui atteint l'air sans passer par la masse, Φ_st · H_is / (H_s · Φ), vaut 17,4 % dans le léger et 11,6 % dans le lourd ; la masse reçoit d'abord 81 % et 87 % de l'apport.
4. Constante de temps : léger, H_eq = 204,6 W/K et τ = 1 728 000 / 204,6 = 8 444 s = 2,35 h. Lourd : H_eq = 219,6 W/K et τ = 7,10 h.
5. Pic d'apport : 1 680 W à 17 h 54. Pic de charge : 1 309 W à 19 h 03 dans le léger (78 % de l'apport, 1 h 09 de retard), 875 W à 19 h 33 dans le lourd (52 %, 1 h 39 de retard). La masse retire 33,2 % au pic.
6. Énergie : l'apport du jour vaut 10,65 kWh et la charge du jour 10,16 kWh dans les deux pièces. L'écart, 0,5 kWh, repart dehors par la façade (vitrage et mur). La masse a déplacé l'énergie dans le temps sans la réduire.

Le revers se lit la nuit. À minuit, la pièce légère demande encore 275 W et la pièce lourde 500 W ; à 8 h, 64 W contre 190 W. Le béton rend la chaleur de la veille au moment où le personnel arrive. Sur les heures de bureau, de 8 h à 18 h, la charge solaire vaut 4,14 kWh dans le léger et 3,32 kWh dans le lourd : le reste tombe le soir et la nuit. Une pièce lourde n'a d'intérêt que si cette chaleur nocturne peut sortir à moindre coût, par l'air frais de la nuit plutôt que par la machine frigorifique. Le chapitre 21 met cette question dans le bilan complet, avec le même modèle : store automatique et toutes les sources réunies, la charge sensible du local culmine à 822 W à 17 h 59 dans la version lourde et à 968 W dans la version légère.

20.9 Le store et la masse

Le tableau compare les quatre combinaisons, heure par heure. La charge est la part solaire seule, en watts.

Bureau de référence, façade ouest, 21 juillet, ciel clair ; schéma 5R1C, air tenu à 26 °C en continu ; classes « très légère » et « lourde » de l'EN ISO 13790. Valeurs calculées par le modèle du cours.

Les deux leviers n'agissent pas de la même façon. Le store agit sur l'amplitude : il réduit l'apport, donc la charge, de 77,1 % à toute heure et sans délai. La masse agit sur la forme : elle écrête et retarde le pic de charge sans changer l'énergie du jour. Les deux se cumulent. Le pic passe de 1 309 W (léger, store relevé) à 200 W (lourd, store baissé), soit 15,3 % de la valeur de départ.

L'ordre de priorité en découle. Une protection extérieure qui se baisse vraiment quand le soleil est sur la façade vient en premier. La masse vient ensuite, utile si elle est accessible (un faux plafond fermé la cache) et si l'on peut l'évacuer la nuit. Un store intérieur, qui absorbe derrière le verre, ne remplace ni l'un ni l'autre.

Les limites du modèle sont connues. Le ciel clair de Hottel décrit un jour très clair, proche d'une borne haute, pas un climat. Le g à incidence normale surestime un peu l'apport sous incidence rasante. Le schéma à un seul nœud de masse lisse le comportement de parois très différentes, et la consigne tenue en continu ne représente pas un système arrêté la nuit. Un calcul de contrôle du type EN ISO 52016-1, cinq nœuds par paroi et 10 % du soleil transmis compté convectif, donne pour le soleil seul 1 329 W en version légère et 928 W en version lourde, au lieu de 1 309 et 875 W, toutes deux à 18 h 40 : la masse retranche 30 % au lieu de 33 %, et le retard tombe à 46 min, car le rayonnement se répartit sur toutes les surfaces, cloisons légères comprises. Pour un projet, on passe à la méthode horaire de l'EN ISO 52016-1 avec des données climatiques réelles ; l'ordre de grandeur et le sens des effets restent ceux de ce chapitre.

À retenir

• La position du soleil se calcule à partir de δ, ω et φ ; en été à Paris, le midi solaire tombe vers 14 h à l'heure légale.
• Une façade ouest reçoit son direct l'après-midi et son maximum en fin de journée de travail : 635 W/m² à 17 h 54 par ciel clair le 21 juillet.
• L'apport instantané vaut Φ = A · g · I ; le vitrage domine largement la paroi opaque.
• Un store extérieur réduit l'apport à toute heure ; ici de 77 %.
• Un apport n'est pas une charge : la masse absorbe le rayonnement et le rend plus tard et plus faiblement.
• La masse écrête et retarde le pic, sans réduire l'énergie du jour ; elle demande une évacuation de nuit.
• Un modèle RC à un nœud de masse, τ = C_m / H_eq, suffit à comprendre le décalage.

Sources publiques : J. A. Duffie, W. A. Beckman, Solar Engineering of Thermal Processes, chapitres 1 et 2 (déclinaison de Cooper et de Spencer, équation du temps, angle d'incidence, modèle de ciel clair de Hottel, corrélation de Liu et Jordan, exemple 1.6.1 utilisé comme contrôle) ; H. C. Hottel, « A simple model for estimating the transmittance of direct solar radiation through clear atmospheres », Solar Energy 18 (1976) ; B. Y. H. Liu, R. C. Jordan, Solar Energy 4 (1960) ; J. W. Spencer, « Fourier series representation of the position of the sun », Search 2 (1971) ; J. Meeus, Astronomical Algorithms, et le calculateur solaire de la NOAA pour les éphémérides de contrôle ; EN ISO 52010-1:2017 (conversion des données climatiques) ; EN 410 (facteur solaire des vitrages) ; EN ISO 52022-1:2017 (facteur solaire des protections, méthode simplifiée) ; EN ISO 13790:2008, annulée et remplacée par l'EN ISO 52016-1:2017, NF EN ISO 52016-1 en juillet 2017 (schéma 5R1C et classes d'inertie) ; L. Ballarini et al., Building Simulation 2019 (IBPSA), et l'implémentation libre pybuildingenergy pour les nœuds, coefficients de surface et fractions convectives de l'EN ISO 52016-1 du calcul de contrôle ; EN ISO 13786:2017 (capacité thermique quotidienne) ; EN ISO 6946 (résistance superficielle extérieure). Tous les nombres de ce chapitre sont calculés par le modèle du cours, commun aux chapitres 19 à 21, sauf ceux du calcul de contrôle, faits à part.