Convection forcée et libre

Un fluide qui longe une paroi plus chaude ou plus froide que lui emporte de la chaleur. Le coefficient de convection h résume cet échange en un seul nombre ; il ne dépend pas que du fluide mais de la façon dont il s'écoule. Ce chapitre montre d'où vient h, comment on le calcule avec les corrélations publiées, dans quel domaine chacune vaut, et ce que valent les coefficients que les chapitres d'application utilisent déjà.

6.1 La loi de Newton et ce qu'elle cache

Le flux qu'une surface d'aire A à la température θ_s cède à un fluide à θ_∞ s'écrit

Φ = h · A · (θ_s − θ_∞) Φ en W, h en W/(m²·K)

Cette loi n'est qu'une définition : elle range dans h tout ce qu'on ignore de l'écoulement. Contre la paroi, l'air ne glisse pas ; la chaleur traverse cette couche immobile par conduction, puis le mouvement du fluide l'emporte. h vaut donc, en ordre de grandeur, k/δ_t, la conductivité du fluide divisée par l'épaisseur de la couche où la température varie. Tout ce qui amincit cette couche (vitesse, turbulence, petite taille de l'objet) augmente h. Le coefficient n'est pas une propriété du matériau, à la différence de la conductivité du chapitre 5 : le h d'un même tube passe de 8,5 W/(m²·K) dans l'air calme à 84,3 dans un courant d'air de 10 m/s, presque dix fois plus.

Quand la surface rayonne aussi vers des parois à la température de l'air, on additionne un coefficient de rayonnement h_r = ε σ (T_s² + T_∞²)(T_s + T_∞), traité au chapitre 7. Dans ce chapitre, h désigne la seule convection ; on écrit h_c quand il faut la distinguer de h_r, comme aux chapitres 27 et 29.

Le banc de la figure 6.1 rend ces idées mesurables. Un tube de 30 cm, chauffé électriquement, traverse la veine vitrée d'une soufflerie ; le wattmètre donne la puissance, deux thermocouples la température de paroi. Le régime établi, la puissance part dans l'air, et pour une petite part en rayonnement : il suffit de lire Δθ pour obtenir h. Ventilateur arrêté, le même tube chauffe l'air autour de lui, qui monte : c'est la convection libre.

6.2 La couche limite

Sur une plaque plane attaquée par un courant uniforme, la vitesse passe de zéro à la paroi à la vitesse du courant au travers d'une couche limite dynamique d'épaisseur δ ; la température fait de même dans une couche limite thermique d'épaisseur δ_t. Tant que l'écoulement reste laminaire, la solution de Blasius donne

δ ≈ 5 x / √Re_x δ_t ≈ δ / Pr^1/3 Re_x = u_∞ x / ν

À 3 m/s dans l'air à 20 °C, la couche dynamique mesure 1,58 mm à 20 mm du bord d'attaque et 3,54 mm à 100 mm ; la couche thermique, un peu plus épaisse parce que le nombre de Prandtl de l'air vaut 0,71, mesure 1,78 puis 3,97 mm. Ces quelques millimètres portent toute la résistance thermique côté air. La couche s'épaissit vers l'aval, donc h baisse : le bord d'attaque d'une ailette échange mieux que sa fin.

Au-delà d'un nombre de Reynolds de l'ordre de 5·10⁵, valeur usuelle pour une plaque lisse, la couche devient turbulente : les tourbillons brassent le fluide jusqu'à la paroi et h remonte. À 3 m/s, il faut une plaque de 2,51 m pour l'atteindre ; une ailette de batterie ou un tube restent donc en régime laminaire ou de transition, alors qu'une façade sous le vent est turbulente sur l'essentiel de sa longueur.

6.3 Les nombres sans dimension

Les mesures de convection se rassemblent en lois générales grâce à quelques nombres sans dimension. L est la dimension qui gouverne l'écoulement : diamètre du tube, longueur de la plaque, hauteur de la paroi.

Reynolds, Re = u L / ν

Rapport des forces d'inertie aux forces visqueuses ; il fixe le régime en convection forcée. Écoulement en tube laminaire sous 2 300 environ.

Prandtl, Pr = ν / a

Propriété du fluide : rapport des diffusivités de quantité de mouvement et de chaleur. 0,71 pour l'air ; pour l'eau, 9,34 à 10 °C, 3,89 à 45 °C, 2,19 à 80 °C.

Nusselt, Nu = h L / k

Le coefficient d'échange rendu sans dimension : c'est ce que donnent les corrélations, et l'on remonte à h = Nu k / L.

Grashof, Gr = g β Δθ L³ / ν²

Flottabilité rapportée à la viscosité, avec β = 1/T pour un gaz parfait (chapitre 3). Rayleigh, Ra = Gr · Pr, fixe le régime de la convection libre.

Richardson, Gr / Re²

Compare flottabilité et inertie. Au-dessous de 0,1 environ, la convection est forcée ; au-dessus de 10, libre ; entre les deux, mixte. Le chapitre 33 l'utilise sous le nom de nombre d'Archimède pour les jets chauds ou froids.

Les propriétés de l'air se prennent à la température de film, moyenne de la paroi et du fluide. Le modèle du chapitre les calcule comme le chapitre 29 : gaz parfait, viscosité par la loi de Sutherland, conductivité tirée de Pr = 0,71.

6.4 Convection forcée autour d'un obstacle

Pour un cylindre en écoulement transversal, la corrélation de Churchill et Bernstein couvre tout le domaine utile, Re·Pr > 0,2 :

Nu = 0,3 + 0,62 Re^1/2 Pr^1/3 / [1 + (0,4/Pr)^2/3]^1/4 × [1 + (Re/282 000)^5/8]^4/5

La forme plus ancienne de Hilpert, Nu = C Re^m Pr^1/3 avec des constantes C et m publiées par plages de Re, donne le même ordre : au banc, à Re = 3 446, elle trouve 27,1 contre 30,3, soit −10,4 %. C'est la dispersion normale entre corrélations : ±10 à 20 % sur h n'a rien d'anormal, et la précision d'un calcul d'échange ne dépasse pas celle-là.

Pour une plaque plane, le nombre de Nusselt moyen vaut 0,664 Re^1/2 Pr^1/3 en régime laminaire, et (0,037 Re^0,8 − 871) Pr^1/3 quand la transition se produit sur la plaque, au-delà de 5·10⁵. Dans les deux cas, h croît comme une puissance de la vitesse comprise entre 0,5 (laminaire) et 0,8 (turbulent), et décroît avec la taille : les petits objets échangent mieux.

Exemple 1. Le tube du banc. Tube de 18 mm, 10 W sur 30 cm, air à 20 °C, émissivité 0,05 (tube poli). Le modèle cherche par dichotomie la température de paroi qui évacue exactement 10 W par convection et rayonnement.

1. Surface A = π D L = 169,6 cm² ; densité de flux 589 W/m².
2. À 1 m/s : Re = 1 116, Nu = 17,0, h = 25,1 W/(m²·K), tube à 43,2 °C.
3. À 3 m/s : Re = 3 446, Nu = 30,3, h = 44,0 W/(m²·K), tube à 33,3 °C. Le rapport des h entre 3 et 1 m/s vaut 1,75, près de √3 = 1,73 : h suit la racine de la vitesse.
4. À 10 m/s : Re = 11 705, Nu = 58,5, h = 84,3 W/(m²·K), tube à 27,0 °C ; le rayonnement ne porte plus que 0,3 % du flux.
5. Ventilateur arrêté : Ra = 24 979, Nu = 5,5, h = 8,5 W/(m²·K), et le tube monte à 86,5 °C pour la même puissance. Le rayonnement prend 4,5 % du flux malgré l'émissivité faible.

À 3 m/s, le diamètre joue dans l'autre sens : 53,4 W/(m²·K) pour un tube de 12 mm, 29,7 pour 42 mm. Le flux par tube augmente avec le diamètre parce que la surface croît plus vite que h ne baisse.

6.5 Convection forcée dans un tube

Dans un tube, en régime turbulent, l'écoulement s'établit en une dizaine à quelques dizaines de diamètres. En régime laminaire établi, au-dessous de Re ≈ 2 300, Nu est constant : 3,66 à température de paroi imposée, 4,36 à flux imposé. h ne dépend alors plus de la vitesse, seulement du diamètre. Mais en laminaire, le profil de température demande environ 0,05 Re Pr diamètres pour s'établir, plusieurs mètres dans un tube de batterie : la zone d'entrée y garde un h plus fort, qui baisse avec le débit. En régime turbulent, la corrélation de Gnielinski est la référence :

Nu = (f/8)(Re − 1 000) Pr / [1 + 12,7 (f/8)^1/2 (Pr^2/3 − 1)] f = (0,790 ln Re − 1,64)⁻²

Elle vaut de Re = 3 000 à 5·10⁶ et de Pr = 0,5 à 2 000, ce qui couvre la zone de transition où tombent souvent les batteries. La forme de Dittus et Boelter, Nu = 0,023 Re^0,8 Prⁿ (n = 0,4 si le fluide s'échauffe, 0,3 s'il se refroidit), reste commode mais ne vaut qu'au-delà de Re = 10⁴, pour 0,6 < Pr < 160 et des tubes longs.

Exemple 2. La batterie chaude du chapitre 36. Eau dans des tubes de 11,2 mm de diamètre intérieur, air sur ailettes ; mêmes données que la centrale du plateau en hiver.

1. Côté eau : 0,472 m/s, Re = 8 055, Pr = 4,32. Gnielinski donne Nu = 54,1. Dans cette zone de transition, le chapitre 36 suit le VDI-Wärmeatlas : il interpole entre la valeur laminaire à Re = 2 300 et la valeur turbulente à 10⁴, effet d'entrée compris, et retient Nu = 53,1 et h = 2 991 W/(m²·K).
2. Dittus-Boelter, appliqué hors de son domaine (Re < 10⁴), trouverait Nu = 47,5 et h = 2 679, soit −10,4 %.
3. Côté air : Re = 3 740 et h = 67,8 W/(m²·K), 44,1 fois moins que côté eau, avec un rendement de surface ailetée de 0,770.
4. Les ailettes portent la surface d'échange côté air à 10,07 m², contre 0,633 m² côté eau, soit 15,9 fois plus. Les résistances valent 1,901 côté air et 0,528 côté eau (en mK/W) : l'air pèse encore 78,2 % du total, l'eau 21,7 %, la paroi 0,07 %.
5. Sans ailettes, avec les tubes nus de 0,66 m², la part de l'air monterait à 97,7 %. Les ailettes servent à compenser un h d'air 44 fois plus faible ; c'est pourquoi les batteries des chapitres 36 et 37 sont toutes ailetées.

La même résistance explique la courbe de puissance des batteries à débit réduit (chapitres 8 et 24). À 50 % du débit d'eau, Re tombe à 3 878 et h à 1 145 ; UA passe de 411,4 à 304,5 W/K et la batterie donne encore 69,6 % de sa puissance. À 25 %, l'écoulement devient laminaire, h tombe à 410 et la puissance à 39,3 %.

6.6 Convection libre

Sans ventilateur, c'est la différence de masse volumique entre l'air chauffé et l'air ambiant qui crée le mouvement. Le nombre de Rayleigh remplace alors le nombre de Reynolds ; la couche limite reste laminaire sur une paroi verticale jusqu'à Ra ≈ 10⁹. Churchill et Chu ont proposé des corrélations qui couvrent tous les Ra :

plaque verticale : Nu = {0,825 + 0,387 Ra^1/6 / [1 + (0,492/Pr)^9/16]^8/27}² cylindre horizontal (Ra ≤ 10¹²) : Nu = {0,60 + 0,387 Ra^1/6 / [1 + (0,559/Pr)^9/16]^8/27}²

Pour une plaque verticale en régime laminaire, une forme plus fine, Nu = 0,68 + 0,670 Ra^1/4 / [1 + (0,492/Pr)^9/16]^4/9, vaut jusqu'à 10⁹. En laminaire, h varie comme (Δθ/L)^1/4 : il croît avec l'écart de température, ce qui rend l'émission des émetteurs plus que proportionnelle à Δθ.

Au banc, ventilateur arrêté, les quatre tubes donnent : 9,95 W/(m²·K) à 105,2 °C pour 12 mm, 8,46 à 86,5 °C pour 18 mm, 7,16 à 70,3 °C pour 28 mm, 6,19 à 58,6 °C pour 42 mm. La convection libre donne des h de quelques W/(m²·K) ; le rayonnement est alors du même ordre et ne se néglige pas. Le même tube de 18 mm peint (ε = 0,90) ne monte qu'à 62,0 °C : h_c = 7,66 et h_r = 6,36 W/(m²·K), le rayonnement emporte 45,4 % du flux. À l'inverse, sans rayonnement du tout, le tube poli monterait à 89,1 °C.

Une couche de fluide horizontale chauffée par le bas reste immobile tant que son nombre de Rayleigh, construit sur son épaisseur, reste sous 1 708 (Rayleigh-Bénard). Une lame d'air de 20 mm sous 10 K d'écart atteint Ra = 8 378 et se met en mouvement ; au même écart, le seuil correspond à 11,8 mm. Les lames d'air des murs sont plutôt verticales, chaudes d'un côté et froides de l'autre : l'air y tourne dès le moindre écart, mais ce mouvement reste négligeable devant la conduction tant que Ra, construit sur l'épaisseur, ne dépasse pas l'ordre de 10³. Au-delà, le coefficient d'échange de la lame ne baisse presque plus quand elle s'épaissit ; avec le rayonnement, qui ne dépend pas de l'épaisseur, c'est pourquoi la résistance d'une lame d'air, que l'EN ISO 6946 traite à part (chapitre 5), cesse de croître au-delà de quelques centimètres.

6.7 Convection mixte et température de film

Quand les deux moteurs agissent ensemble, une règle simple fonctionne bien pour un cylindre en écoulement horizontal : Nu³ = Nu³_forcée + Nu³_libre. Au banc, à 10 W, elle donne à 0,1 m/s Gr/Re² = 3,07, Nu = 6,65 et 75,8 °C ; à 0,3 m/s Gr/Re² = 0,251, Nu = 9,57 et 60,1 °C ; à 0,5 m/s Gr/Re² = 0,074 et la convection est déjà forcée. Les vitesses d'air d'un local occupé, quelques dixièmes de m/s (chapitre 14), tombent justement dans cette zone mixte.

Le choix de la température des propriétés compte surtout en convection libre. Prises à l'air ambiant plutôt qu'au film, elles donnent h = 8,74 au lieu de 8,46 W/(m²·K) au banc à l'arrêt, 3,3 % d'écart ; à 3 m/s, l'écart n'est plus que de 0,4 %.

6.8 Ordres de grandeur

Les valeurs ci-dessous sortent des cas du chapitre et des installations de référence ; elles situent un résultat, elles ne remplacent pas le calcul.

L'eau échange des dizaines de fois mieux que l'air (44,1 fois dans la batterie de l'exemple 2), parce que sa conductivité est bien plus forte et sa viscosité cinématique plus faible. L'ébullition et la condensation dépassent encore nettement l'eau liquide ; elles relèvent des chapitres 4 et 43 à 48 et ne se calculent pas avec les corrélations de ce chapitre.

6.9 Dans les installations

Résistances superficielles des parois. Le chapitre 5 prend les valeurs conventionnelles de l'EN ISO 6946 : R_si = 0,13 et R_se = 0,04 m²·K/W pour une paroi verticale, soit des coefficients globaux, convection et rayonnement, de 7,69 et 25,0 W/(m²·K). L'exemple 3 les recalcule.

Exemple 3. Le mur du chapitre 5. Paroi de 2,5 m de haut, émissivité 0,90, intérieur à 20 °C, extérieur à −5 °C ; façade de 5 m sous un vent de 4 m/s.

1. Mur sans isolant : face intérieure à 11,23 °C, Ra = 1,54·10¹⁰, convection libre h_c = 2,94 et rayonnement h_r = 4,92, soit h = 7,85 W/(m²·K) et R_si = 0,127 m²·K/W, très proche de la convention.
2. Mur avec 120 mm d'isolant : la face intérieure est à 19,01 °C, l'écart tombe à 1 K, h_c à 1,47 ; h = 6,59 et R_si = 0,152. Le rayonnement porte alors 78 % de l'échange.
3. Face extérieure, plaque plane de 5 m à 4 m/s : Re = 1,55·10⁶, h_c = 10,49, h_r = 3,95, R_se = 0,069. La convention 0,04 suppose le même vent de 4 m/s, mais un coefficient convectif de 20 W/(m²·K), presque le double, tiré de mesures sur des bâtiments : le vent réel est turbulent, change de direction et décolle aux arêtes, et l'enduit est rugueux, ce qu'ignore une plaque lisse sous un courant parallèle et uniforme. Son rayonnement, 0,9 × 5,1 ≈ 4,6 W/(m²·K), est proche du nôtre, et les deux calculs supposent l'entourage à la température de l'air : un ciel clair, plus froid, ajoute une perte que ni l'un ni l'autre ne compte (chapitre 7). Pour les déperditions, la convention est du côté prudent.
4. Effet sur U : pour le mur isolé, 0,2636 W/(m²·K) avec les valeurs conventionnelles, 0,2601 avec les valeurs calculées, −1,3 % ; pour le mur nu, 2,735 contre 2,549, −6,8 %. Les résistances superficielles ne comptent vraiment que pour les parois peu isolées et les vitrages.

Radiateurs et exposant n. L'EN 442-2 donne la puissance d'un radiateur sous la forme Φ = Φ₅₀ (Δθ/50)ⁿ ; le chapitre 26 prend n = 1,3. La convection explique cet exposant. Sur la face avant d'un panneau de 0,60 m, Ra = 7,8·10⁸ à 50 K : la couche limite est laminaire, h_c = 3,95 W/(m²·K) et le rayonnement (h_r = 6,61) domine, la convection ne portant que 37,4 % du flux de cette face. Entre 30 et 50 K, la convection laminaire seule donne un exposant apparent de 1,225, le rayonnement 1,195, la face avant 1,206. Ce sont les canaux entre ailettes qui relèvent l'ensemble : dans un canal de 8 mm, la corrélation d'Elenbaas donne un écoulement proche du régime établi du canal, dont l'exposant atteint 1,561. Un mélange des deux surfaces tombe entre ces bornes, ce qui est cohérent avec les valeurs publiées de 1,25 à 1,35, sans que le modèle calcule la pondération d'un appareil réel. Le choix pèse peu : pour le séjour de la maison (pièce R2, 630,6 W à Δθ = 30,0 K), prendre 1,25 au lieu de 1,3 donne Φ₅₀ = 1 194,1 au lieu de 1 225,0 W, 2,6 % d'écart.

Tuyauteries. Le chapitre 29 calcule h_c autour des tubes par la corrélation de Churchill et Chu que ce chapitre utilise : le modèle retrouve 7,10 W/(m²·K) pour un tube de cuivre nu de 18 mm à 50 °C et 3,71 pour le même tube sous 13 mm de mousse (diamètre extérieur 44 mm, surface à 25,2 °C). Le rapport 1,92 suit la loi en (Δθ/D)^1/4, qui prévoit 1,94. Le chapitre 5 prend h_e = 10 W/(m²·K) pour sa vérification d'ordre de grandeur sur une coquille isolée ; la valeur calculée sur l'isolant, rayonnement compris, est 8,99.

Autres usages. Les planchers chauffants (chapitre 27) sont une plaque horizontale chaude tournée vers le haut : l'air chauffé monte et brasse la pièce, mais l'écart de quelques kelvins garde h_c à quelques W/(m²·K), et le rayonnement fait près des deux tiers de l'échange. Les tours aéroréfrigérantes (chapitre 47) transposent ces corrélations au transfert de vapeur par l'analogie de Lewis. Les jets d'air du chapitre 33 relèvent de la convection mixte : leur nombre d'Archimède est un Gr/Re².

6.10 Erreurs fréquentes

• Sortir une corrélation de son domaine. Dittus-Boelter à Re = 8 055 sous-estime h de 10 % ; une loi turbulente appliquée à un débit réduit qui passe en laminaire se trompe bien davantage.
• Prendre les propriétés à la mauvaise température. Le film, pas l'air ambiant, surtout en convection libre et aux grands écarts.
• Oublier le rayonnement en convection libre. Il est du même ordre que la convection dès que la surface est peinte : 45,4 % du flux du tube peint au banc, plus de la moitié pour un mur.
• Confondre h et U. h ne décrit qu'une face ; U additionne les résistances en série (chapitres 5 et 8), et c'est la plus forte qui commande.
• Attendre de la précision. Deux corrélations honnêtes diffèrent de 10 % ; inutile de donner h à trois chiffres significatifs pour dimensionner.

À retenir

• h ≈ k/δ_t : tout ce qui amincit la couche limite thermique augmente l'échange.
• Les corrélations donnent Nu en fonction de Re et Pr (forcée) ou de Ra et Pr (libre) ; Gr/Re² dit laquelle s'applique.
• Churchill-Bernstein pour un cylindre en travers, Gnielinski dans un tube au-delà de 3 000, Nu constant en laminaire, Churchill-Chu en convection libre ; chacune a son domaine.
• Air libre : quelques W/(m²·K), le rayonnement est du même ordre. Air forcé : quelques dizaines. Eau : quelques milliers.
• Le côté air commande une batterie, d'où les ailettes ; la convection laminaire et les canaux d'ailettes expliquent l'exposant n ≈ 1,3 des radiateurs.

Sources publiques. F. P. Incropera, D. P. DeWitt et al., Fundamentals of Heat and Mass Transfer, Wiley (couche limite, corrélations et domaines de validité). VDI-Wärmeatlas, Springer (corrélations de Gnielinski, convection libre). S. W. Churchill et M. Bernstein, J. Heat Transfer 99, 1977 (cylindre en écoulement transversal). S. W. Churchill et H. H. S. Chu, Int. J. Heat Mass Transfer 18, 1975 (plaque verticale et cylindre horizontal en convection libre). V. Gnielinski, Int. Chem. Eng. 16, 1976 (écoulement turbulent et de transition en tube). F. W. Dittus et L. M. K. Boelter, 1930, repris par W. H. McAdams, Heat Transmission. R. Hilpert, Forschung im Ingenieurwesen 4, 1933. W. Elenbaas, Physica 9, 1942 (canaux verticaux en convection libre). H. Blasius, 1908 (couche limite laminaire). EN ISO 6946:2017, résistances superficielles conventionnelles. EN 442-2:2014, puissance des radiateurs et exposant n. Installations de référence du cours : chapitres 5, 26, 29 et 36 (modèles importés). Figure et nombres : le modèle du cours de ce chapitre.