Ponts thermiques et calcul 2D

Le coefficient U suppose une paroi infinie, traversée tout droit. Aux angles, aux nez de dalle et autour des fenêtres, la chaleur prend des chemins de côté. Ce chapitre montre d'où viennent les ψ du chapitre 17 : un calcul de conduction en deux dimensions, une définition qui dépend de la façon de mesurer les surfaces, et une température de surface qui décide du risque de moisissure.

59.1 Pourquoi le flux n'est plus unidimensionnel

Au chapitre 5, le flux traverse des couches parallèles, perpendiculairement à leurs faces. Chaque couche a la même densité de flux et la température varie en ligne droite dans chacune. C'est exact loin de tout bord. Une jonction casse cette symétrie de deux façons. Par la géométrie : dans un angle sortant, la face extérieure est plus grande que la face intérieure, et la chaleur s'évase vers elle. Par les matériaux : une dalle en béton armé (λ 2,3) qui traverse un isolant (λ 0,035) offre un chemin 66 fois plus conducteur ; le flux s'y précipite depuis le mur et le plancher voisins.

Le surplus de flux par rapport au calcul « U fois surface » est le pont thermique. Il a deux effets. Il ajoute des déperditions, que le chapitre 17 compte par mètre de jonction. Il refroidit la surface intérieure au droit de la jonction, là où l'air bouge peu, et c'est là que la moisissure apparaît d'abord (chapitre 16). Le premier effet relève du bilan, le second de la santé du bâti ; un détail peut être acceptable pour l'un et pas pour l'autre.

59.2 L'équation de la chaleur en deux dimensions

Une jonction linéaire (nez de dalle, angle, tableau de fenêtre) garde la même section sur sa longueur ; on la calcule dans son plan de coupe. En régime permanent et sans source, la loi de Fourier et la conservation de l'énergie donnent :

∂/∂x (λ ∂θ/∂x) + ∂/∂z (λ ∂θ/∂z) = 0

Le modèle du cours résout cette équation par volumes finis. On découpe la coupe en rectangles, chacun d'un seul matériau, plus fins près du pont (2,5 mm) et plus lâches au loin (25 mm). Chaque cellule fait un bilan nul avec ses quatre voisines. Entre deux cellules, la conductance par mètre de profondeur met en série les deux demi-épaisseurs ; entre une cellule et l'air, on ajoute la résistance superficielle :

G = l_face / (d₁/(2 λ₁) + d₂/(2 λ₂)) G_air = l_face / (d/(2 λ) + R_s)

Le système d'équations est symétrique et défini positif ; un gradient conjugué préconditionné le résout jusqu'à un résidu relatif de 10⁻¹².

Conditions aux limites. L'EN ISO 10211:2017 fixe le cadre du calcul détaillé. Pour le flux, on prend les résistances superficielles conventionnelles de l'EN ISO 6946:2017 : 0,13 m²·K/W sur une face verticale (donc sur toutes les faces intérieures d'une coupe horizontale, comme un angle ou un tableau), 0,10 au plafond (flux montant), 0,17 au sol (flux descendant), 0,04 à l'extérieur. Pour la température de surface, l'EN ISO 13788:2012 impose 0,25 m²·K/W à l'intérieur, comme au chapitre 5 : cette valeur plus forte représente un coin meublé, où l'air et le rayonnement réchauffent mal la paroi. On fait donc deux calculs du même champ, l'un pour ψ, l'autre pour θ_si.

Plans de coupe. On ne peut pas modéliser tout le bâtiment. On coupe le mur et la dalle assez loin du détail pour que le flux y soit redevenu unidimensionnel, et on rend ces coupes adiabatiques, c'est-à-dire sans flux. La norme place chaque coupe à au moins 1 m du détail, ou à trois fois l'épaisseur de l'élément coupé si c'est plus. Le mur de 0,345 m demanderait 1,04 m ; le modèle coupe à 1 m, et reculer les coupes à 1,3 m ne change ψ que de 0,015 % au plus : le flux y est déjà redevenu unidimensionnel. Si la coupe tombe trop près, le flux y est forcé à être parallèle et ψ est faussé.

59.3 Valider un solveur

L'EN ISO 10211 contient des cas d'essai qu'un programme doit reproduire pour être qualifié de méthode de haute précision. Le premier est une demi-colonne carrée de conductivité 1 W/(m·K), de 1 m de large et 2 m de haut, dont la face haute est à 20 °C et les autres à 0 °C, le plan de symétrie étant adiabatique. Ce problème a une solution exacte en série de Fourier. Son énoncé est repris dans des rapports de validation publics de logiciels de calcul, qui publient aussi les 28 températures de référence ; la série les redonne au dixième de degré près, qui est leur précision. Le cours compare son solveur à la série plutôt qu'au tableau de la norme : l'écart maximal est de 0,0003 K sur les 28 points, par exemple 9,66 °C au point (0,25 ; 1,75).

Deux autres contrôles complètent : un mur droit doit redonner exactement son U, et l'angle de deux murs de 0,3 m d'épaisseur doit donner un facteur de forme proche de la valeur approchée des manuels, 0,54 par mètre d'arête. Le solveur trouve 0,557. Enfin, ψ ne doit pas dépendre du maillage. En divisant le pas par deux, ψ bouge de 0,11 % pour l'angle, de 0,06 % pour le balcon et de 0,46 % au plus pour le tableau de fenêtre : bien sous le 1 % visé.

59.4 Coefficient de couplage et définition de ψ

Le calcul donne le flux qui traverse la coupe par mètre de jonction et par kelvin d'écart : c'est le coefficient de couplage L_2D, en W/(m·K). On en retire ce que le calcul unidimensionnel compte déjà, les U des parois multipliés par leurs longueurs dans la coupe :

ψ = L_2D − Σ U_j · l_j H = Σ U·A + Σ ψ·l + Σ χ

Le point délicat est la longueur l_j. L'EN ISO 13789:2017 et l'EN ISO 14683:2017 admettent trois conventions : dimensions intérieures (faces intérieures, d'un mur à l'autre), intérieures hors tout (comme les intérieures, mais en traversant les planchers intermédiaires) et extérieures (faces extérieures). L_2D ne dépend que de la physique ; ψ dépend de la convention. Les surfaces et les ψ d'un calcul doivent donc suivre la même convention : le chapitre 17 travaille en dimensions intérieures.

Exemple 1 : l'angle sortant du mur de la maison. Le mur des chapitres 5 et 17 (enduit intérieur, 200 mm de blocs de béton, 120 mm d'isolant, enduit extérieur) forme un angle sortant ; chaque bras est coupé à 1,2 m de l'angle intérieur.

1. Mur courant : U = 0,2636 W/(m²·K), épaisseur d = 0,345 m.
2. Calcul 2D : L_2D = 0,7448 W/(m·K).
3. Dimensions intérieures : l_i = 2 × 1,2 = 2,40 m ; U · l_i = 0,6325 ; ψ_i = 0,7448 − 0,6325 = 0,112 W/(m·K).
4. Dimensions extérieures : l_e = 2 × (1,2 + 0,345) = 3,090 m ; U · l_e = 0,8144 ; ψ_e = 0,7448 − 0,8144 = −0,070 W/(m·K).
5. Contrôle : ψ_i − ψ_e = 2 U d = 0,1819, aux arrondis près.
6. Surface : f_Rsi minimal 0,884 dans l'angle, soit 17,1 °C par −5 °C dehors.

Le chapitre 17 a pris 0,10 W/(m·K) en dimensions intérieures : le calcul donne 0,012 de plus, le même ordre de grandeur. Le ψ_e négatif n'est pas un gain de chaleur. Il dit seulement que les surfaces extérieures comptent deux fois le carré d'angle, d'épaisseur d sur d, et que cette surestimation dépasse l'effet réel de l'angle. Avec 80 mm d'isolant, ψ_i vaut 0,145 et ψ_e −0,085 ; avec 200 mm, 0,080 et −0,060.

59.5 Les ponts ponctuels χ

Un élément qui perce l'isolant en un point (cheville, patte de fixation, console de bardage) se compte par son coefficient χ, en W/K, sans longueur. Il se calcule en trois dimensions, ou par les formules simplifiées de l'EN ISO 6946:2017 pour les fixations mécaniques. Le cours reprend la forme de leur procédure approchée, ΔU_f = α λ_f A_f n_f / d₀ · (R₁/R_T)², avec α = 0,8 pour une fixation qui traverse tout l'isolant ; cette forme reste à vérifier sur le texte de la norme, et le résultat se lit comme un ordre de grandeur. Pour six chevilles d'acier par mètre carré, de 5 mm de diamètre, à travers les 120 mm d'isolant, elle donne χ = 0,0053 W/K par cheville et ΔU_f = 0,0321 W/(m²·K), soit environ 12 % du U du mur. Une fixation métallique traversante n'est donc pas un détail. Les chevilles à tête isolée ou en matériau peu conducteur réduisent ce terme, et la correction de la norme permet de l'ajouter directement au U.

59.6 Catalogues et valeurs par défaut

On ne calcule pas chaque jonction d'une maison. L'EN ISO 14683:2017 donne des ψ par défaut pour des types de jonctions courants, dans chacune des trois conventions ; ils sont volontairement prudents, pour ne pas favoriser un projet non étudié. Des catalogues nationaux et des fiches de fabricants donnent des valeurs calculées selon l'EN ISO 10211 pour des détails précis. Dans l'ordre de préférence : calcul du détail réel, catalogue d'un détail équivalent, valeur par défaut de la norme, et en dernier recours le forfait ΔU_TB du chapitre 17, de 0,05 à 0,10 W/(m²·K) sur toutes les parois. On vérifie toujours la convention de dimensions du catalogue avant d'y lire un ψ.

59.7 Le balcon traversant

Le pont le plus fort d'un bâtiment isolé par l'extérieur est la dalle qui sort en balcon. La figure 59.1 en montre le calcul : une tranche du mur de la maison, coupée à 1 m au-dessus et au-dessous d'un plancher en béton armé de 20 cm qui traverse l'isolant et se prolonge sur 1,45 m dehors ; l'intérieur est à 20 °C des deux côtés de la dalle.

Sur la face avant, les isothermes se serrent dans l'isolant et s'écartent dans le béton : partout où elles se serrent, la résistance est forte. Au droit de la dalle, elles plongent vers l'extérieur et les lignes de flux, qui portent chacune 0,1 W/(m·K), s'y concentrent. Le balcon agit comme une ailette qui refroidit la dalle jusqu'à l'intérieur.

Exemple 2 : la dalle sans et avec rupteur. Isolant de 120 mm, rupteur de 80 mm de λ équivalent 0,15 W/(m·K), un ordre de grandeur pour l'isolant et les armatures qui le traversent, et non la valeur d'un produit.

1. Dalle continue : L_2D = 1,536 W/(m·K). Le même mur sans dalle laisserait passer U · l_e = 0,580, ou U · l_i = 0,527 sur les 2,0 m de mur intérieur.
2. ψ_e = 1,536 − 0,580 = 0,956 W/(m·K) ; ψ_i = 1,009. Pour un plancher intermédiaire, ψ_oi en dimensions intérieures hors tout vaut ψ_e. La tranche laisse passer 2,65 fois le flux du mur seul.
3. Sous 27 K, chaque mètre de balcon ajoute 27,2 W aux pertes du mur ; 4 m de balcon, 109 W.
4. Avec rupteur : L_2D = 0,803 ; ψ_e = 0,223 ; ψ_i = 0,276 ; 1,39 fois le mur seul. Le rupteur retire 77 % de ψ_e ; les 4 m de balcon ne perdent plus que 30 W.
5. Surface : sans rupteur, le point le plus froid est l'angle entre le mur et la sous-face de la dalle, à f_Rsi = 0,761, soit 14,0 °C par −5 °C et 13,5 °C par −7 °C. Avec rupteur, 0,905, soit 17,6 °C par −5 °C.

Le curseur d'isolant montre un effet contre-intuitif. Sans rupteur, passer de 80 à 200 mm d'isolant divise U par 2,3 (de 0,377 à 0,164 W/(m²·K)) mais ne fait baisser ψ_e que de 1,004 à 0,840 : la dalle court-circuite l'isolant quelle que soit son épaisseur, et la part du pont grandit à mesure que le mur s'améliore. Avec rupteur, ψ_e monte même de 0,198 à 0,245 : la résistance du rupteur ne change pas alors que celle du mur courant augmente, et ψ mesure justement l'écart entre les deux chemins.

59.8 Température de surface et moisissure

Le facteur de température d'un point de surface se lit sans connaître le climat :

f_Rsi = (θ_si − θ_e) / (θ_i − θ_e)

Le chapitre 16 fixe le critère de moisissure de l'EN ISO 13788 : l'humidité relative au contact de la surface ne doit pas dépasser 80 %. Pour un air intérieur à 20 °C et 50 %, cela impose θ_si ≥ 12,62 °C, plus sévère que le point de rosée (9,26 °C). Par −5 °C dehors, il faut donc f_Rsi ≥ 0,705 ; par −7 °C, 0,727. La méthode mensuelle du chapitre 16 fait le même calcul mois par mois, avec le climat et une humidité intérieure tirée d'un bilan : pour la maison normalement occupée, le mois le plus exigeant ne demande que 0,456 ; pour un logement humide, il faut 0,756.

Le mur courant a un f_Rsi de 0,936 (18,4 °C par −5 °C). Le balcon sans rupteur descend à 0,761 dans l'angle de la dalle : il passe le critère de 0,705, mais sans marge (et tout juste le seuil mensuel du logement humide), et la sonde du mur, à 50 cm sous la dalle, ne lit encore que 0,900. Une humidité un peu plus forte, un meuble contre l'angle ou un isolant plus mince (0,733 avec 80 mm, sous le seuil du logement humide) suffisent à franchir la limite. Avec rupteur, 0,905 laisse une marge large.

Exemple 3 : le tableau de fenêtre. Fenêtre posée en tunnel dans l'épaisseur du bloc, à 65 mm de sa face intérieure, représentée par un panneau homogène de même U (1,3 W/(m²·K)) ; l'isolant extérieur s'arrête au nu du bloc ou revient de 30 mm sur le tableau.

1. Sans retour d'isolant : L_2D = 1,549 W/(m·K) ; ψ = 0,505 W/(m·K).
2. Surface : f_Rsi = 0,617, soit 10,4 °C par −5 °C, sous les 12,62 °C du critère : risque de moisissure dans l'angle du tableau, que seule une maison bien ventilée (seuil mensuel 0,456) tolère.
3. Retour de 30 mm : L_2D = 1,132 ; ψ = 0,089, proche des 0,10 du chapitre 17 ; f_Rsi = 0,844, soit 16,1 °C.

Trois centimètres d'isolant collés sur le tableau divisent ψ par plus de cinq et font passer la surface du mauvais côté du critère au bon, même pour le logement humide.

59.9 La part des ponts dans la maison

La maison du chapitre 17 compte, en dimensions intérieures, 36 m de tête de mur, 40,4 m de tour de baies et 10 m d'angles sortants, plus 36 m de pied de mur rattachés au sol (167 W). En gardant la tête de mur et le pied de mur du chapitre 17, on remplace l'angle et le tour de baies par les ψ calculés ici. Le ψ du tableau, calculé au jambage, est appliqué à tout le tour de baie, appui et linteau compris : c'est une approximation, ces deux jonctions ont leur propre détail. Sous −7 °C :

Ponts : tous les ponts, pied de mur compris. Part : dans la transmission de chaque cas (1 878 W au chapitre 17).

Les ψ typiques du chapitre 17 et le calcul des détails traités concordent à 9 W près. Laisser les tableaux sans retour ajoute 454 W, porte la transmission à 2 323 W et la charge de base de 2 805 à 3 250 W : le quart de la charge passe alors par les ponts. Le même raisonnement vaut en rénovation (chapitre 68) : isoler les murs sans traiter les tableaux et les nez de dalle laisse une part croissante des pertes dans les jonctions, et les surfaces froides s'y concentrent, alors que le mur courant s'est réchauffé.

59.10 Règles de l'art

Les dispositions suivantes sont des règles de l'art, non des exigences chiffrées d'une norme ; elles découlent des calculs ci-dessus.

• Isolation continue. L'isolation par l'extérieur enveloppe planchers et refends sans interruption : c'est la façon la plus simple de supprimer les nez de dalle. Par l'intérieur, chaque plancher et chaque refend coupe l'isolant et demande un rupteur ou un retour d'isolant.
• Rupteurs. Au droit des balcons et des nez de dalle qui traversent l'isolant, un rupteur à armatures traversantes, ou un balcon désolidarisé sur ses propres appuis.
• Retours d'isolant en tableau. Poser la fenêtre dans le plan de l'isolant, ou faire revenir l'isolant sur le tableau et l'appui, même sur 2 à 3 cm.
• Acrotères, appuis, seuils. Les envelopper ou les couper par un isolant, comme les balcons.
• Fixations. Limiter les pattes et consoles métalliques traversantes, et les compter (χ) quand on ne peut pas les éviter.

59.11 Erreurs fréquentes

• Mauvaise convention de surfaces. Prendre un ψ_e de catalogue avec des surfaces intérieures oublie la différence. Pour les 10 m d'angles de la maison, ψ_i donne 1,123 W/K ; ψ_e pris avec les surfaces intérieures en fait oublier 1,819, soit 49 W sous 27 K.
• Ponts comptés deux fois. Un forfait ΔU_TB ajouté à des ψ détaillés ; une correction de fixations déjà dans le U et recomptée en χ ; un ψ de plancher bas compté avec les murs alors qu'il va avec le sol (chapitre 17).
• ψ négatif mal compris. Un angle sortant a un ψ_e négatif. Il ne faut ni l'ignorer en dimensions extérieures, ni le reporter tel quel en dimensions intérieures : c'est une correction de surface, pas un gain.
• Coupe trop proche. Un modèle coupé trop près du détail force le flux et donne un ψ faux.
• Deux R_si confondues. 0,13 sert au flux, 0,25 à la température de surface ; prendre 0,13 pour vérifier la moisissure surestime θ_si.

À retenir

• Aux jonctions, le flux devient bidimensionnel ; on résout div(λ grad θ) = 0 dans la coupe, avec R_s aux faces et des plans de coupe adiabatiques à 1 m au moins, ou à trois épaisseurs si c'est plus (EN ISO 10211:2017).
• ψ = L_2D − Σ U·l, en W/(m·K) ; sa valeur dépend de la convention de dimensions, qui doit être celle des surfaces.
• Un angle sortant isolé : ψ_i 0,112, ψ_e −0,070 ; l'écart vaut 2 U d.
• Un balcon sans rupteur : ψ_e 0,956 ; avec rupteur, 0,223. Un tableau sans retour : 0,505 ; avec 30 mm de retour, 0,089.
• f_Rsi = (θ_si − θ_e)/(θ_i − θ_e), calculé avec R_si = 0,25 ; à comparer au seuil de moisissure, 0,705 par −5 °C pour 20 °C et 50 %.
• Dans la maison du chapitre 17, les ponts font 21 % de la transmission quand les détails sont traités, 36 % quand les tableaux ne le sont pas.

Sources publiques : norme EN ISO 10211:2017, Ponts thermiques dans les bâtiments, flux thermiques et températures superficielles, calculs détaillés, pour l'équation, les conditions aux limites, les plans de coupe et le principe des cas d'essai ; énoncé et résultats du cas d'essai 1 (demi-colonne carrée) lus dans des rapports de validation publics de deux logiciels de simulation, qui reproduisent ce cas de la norme ; norme EN ISO 14683:2017, Ponts thermiques dans les bâtiments, coefficient linéique, méthodes simplifiées et valeurs par défaut, citée pour son objet sans reprendre ses valeurs ; norme EN ISO 13789:2017, Coefficients de transfert thermique par transmission et par renouvellement d'air, pour les conventions de dimensions ; norme EN ISO 6946:2017 pour les résistances superficielles et la procédure approchée de correction des fixations mécaniques (annexe F) ; norme EN ISO 13788:2012 pour f_Rsi, R_si = 0,25 m²·K/W et le critère de 80 % ; facteur de forme d'un angle de deux murs, valeur classique des manuels de transfert thermique ; mur, U et maison des chapitres 5 et 17. La conductivité du béton armé est une valeur typique ; celle du rupteur est un ordre de grandeur. Tous les nombres de ce chapitre sont calculés par le modèle du cours, qui contient son propre solveur aux volumes finis.