Conduction, parois et coefficient U

Une paroi chauffée d'un côté et refroidie de l'autre laisse passer un flux de chaleur. Ce chapitre montre comment le calculer à partir des matériaux et de leurs épaisseurs, comment la température se répartit dans l'épaisseur, et pourquoi la température de la face intérieure décide de la condensation.

5.1 La loi de Fourier

Dans un solide, la chaleur va du chaud vers le froid sans que la matière se déplace : c'est la conduction. Fourier en a donné la loi en 1822 : la densité de flux est proportionnelle au gradient de température et de sens opposé.

q = − λ · dθ/dx q en W/m², θ en °C ou K, x en m

Le coefficient λ est la conductivité thermique du matériau, en W/(m·K). En régime permanent, dans une couche homogène où le flux traverse l'épaisseur sans fuir par les bords, q est le même à toutes les profondeurs ; le gradient est donc constant et la température varie en ligne droite d'une face à l'autre. Pour une couche d'épaisseur d dont les faces sont à θ₁ et θ₂ :

q = λ · (θ₁ − θ₂) / d

Le régime permanent suppose que les températures ne bougent plus. Une paroi lourde met des heures, voire des jours, à s'y installer ; le calcul du coefficient U l'ignore, et l'inertie sera traitée avec les apports solaires (chapitre 20).

5.2 La conductivité λ : ordres de grandeur

λ couvre plus de quatre ordres de grandeur entre un métal et un isolant. Les valeurs ci-dessous sont typiques, de l'ordre de celles tabulées par la norme EN ISO 10456 et par les manuels ; pour un projet, on prend la valeur déclarée du produit (λ_D, déterminée selon sa norme de produit et souvent certifiée) ou la valeur utile corrigée de la température et de l'humidité selon EN ISO 10456.

Valeurs typiques arrondies ; la plage réelle dépend de la masse volumique, de l'humidité et de la température. Les isolants courants vont d'environ 0,030 à 0,040 W/(m·K).

Deux lectures de ce tableau servent tout le temps. Le cuivre conduit plus de 10 000 fois mieux qu'une laine minérale : une vis, un rail ou une patte métallique qui traverse un isolant devient un chemin préférentiel. Et un isolant courant est surtout de l'air immobilisé dans des fibres ou des cellules : son λ reste proche de celui de l'air, un peu au-dessus à cause de la matière solide et du rayonnement. Les mousses PIR descendent sous l'air parce que leurs cellules fermées contiennent un gaz moins conducteur. L'eau conduit 23 fois mieux que l'air immobile ; un isolant mouillé perd une grande part de son efficacité.

5.3 Résistance d'une couche, couches en série

On réécrit la loi de Fourier comme une loi d'Ohm : l'écart de température est la « tension », la densité de flux le « courant », et la couche oppose une résistance thermique :

R = d / λ m²·K/W q = (θ₁ − θ₂) / R

Une paroi de plusieurs couches collées les unes aux autres est un montage en série : le même flux traverse chaque couche, et les résistances s'ajoutent.

R = R₁ + R₂ + … = Σ d_j / λ_j

Comme q est le même partout, la chute de température dans chaque couche vaut Δθ_j = q · R_j : elle est proportionnelle à la résistance de la couche, pas à son épaisseur. Le profil de température est une ligne brisée, droite dans chaque couche, d'autant plus pentue que λ est faible.

Le banc de la figure 5.1 le montre. L'éprouvette est la paroi de ce chapitre : enduit plâtre de 15 mm (λ = 0,40), blocs de béton pleins de 200 mm (λ = 1,35), isolant (λ = 0,035) d'épaisseur réglable, enduit extérieur de 10 mm (λ = 1,0). Les plaques tiennent ses faces à 20 °C et −5 °C. Avec 120 mm d'isolant, la résistance des couches vaut 3,62 m²·K/W et le flux 6,9 W/m² ; l'isolant porte 94,6 % de la résistance, et les 200 mm de blocs ne perdent que 1,02 K. Sans isolant, le flux monte à 127,8 W/m² et les mêmes blocs prennent 18,93 K. Avec 200 mm, il tombe à 4,2 W/m².

5.4 Résistances superficielles et coefficient U

Dans un bâtiment, ce ne sont pas des plaques qui tiennent les faces de la paroi, mais l'air du local et l'air extérieur. Entre la surface et son environnement, la chaleur passe par convection avec l'air et par rayonnement avec les surfaces qui lui font face (chapitres 6 et 7). La norme EN ISO 6946 regroupe ces deux échanges dans des résistances superficielles conventionnelles :

R_si = 0,13 correspond à un coefficient d'échange intérieur d'environ 7,7 W/(m²·K) ; R_se = 0,04 à 25 W/(m²·K), parce que le vent balaie la face extérieure. On en déduit la résistance totale et le coefficient de transmission thermique U :

R_T = R_si + Σ d_j / λ_j + R_se U = 1 / R_T W/(m²·K)

U est le flux qui traverse un mètre carré de paroi pour un kelvin d'écart entre l'air intérieur et l'air extérieur. La déperdition d'une paroi d'aire A en découle :

Φ = U · A · (θ_i − θ_e) W

La même norme traite aussi les lames d'air, les couches hétérogènes (par encadrement entre deux bornes) et les corrections pour fixations mécaniques. Les ponts thermiques, où le flux n'est plus unidirectionnel, relèvent d'autres méthodes (EN ISO 10211, EN ISO 14683) : le chapitre 59 les calcule en deux dimensions et en tire leurs coefficients linéiques ψ, que le chapitre 17 ajoute aux déperditions.

5.5 Profil de température et température de surface intérieure

Une fois q connu, on descend de l'air intérieur vers l'air extérieur en retranchant à chaque étape q · R. La première marche donne la température de surface intérieure :

q = U · (θ_i − θ_e) θ_si = θ_i − R_si · q = θ_i − (R_si / R_T) · (θ_i − θ_e)

Plus la paroi isole, plus R_si pèse peu dans R_T et plus la face intérieure reste proche de l'air du local. C'est la base du confort près des murs (chapitre 14) et de la question de la condensation (section 5.7).

5.6 Exemple : le U d'un mur isolé par l'extérieur

Le mur du banc, avec 120 mm d'isolant, sépare un local à 20 °C de l'extérieur à −5 °C. Flux horizontal : R_si = 0,13 et R_se = 0,04.

1. Résistances des couches : enduit 0,015 / 0,40 = 0,0375 ; blocs 0,200 / 1,35 = 0,1481 ; isolant 0,120 / 0,035 = 3,4286 ; enduit extérieur 0,010 / 1,0 = 0,0100 m²·K/W. Somme : 3,6242 m²·K/W.
2. R_T = 0,13 + 3,6242 + 0,04 = 3,7942 m²·K/W, donc U = 1 / 3,7942 = 0,264 W/(m²·K).
3. Flux : q = 25 / 3,7942 = 6,59 W/m². Pour 10 m² de façade, Φ = 65,9 W.
4. Températures, de l'intérieur vers l'extérieur : air 20,00 ; surface intérieure 19,14 ; enduit/blocs 18,90 ; blocs/isolant 17,92 ; isolant/enduit extérieur −4,67 ; surface extérieure −4,74 ; air −5,00 °C.
5. L'isolant prend 90,4 % de la chute totale, la résistance superficielle intérieure 3,4 %, les blocs 3,9 %.

L'épaisseur d'isolant agit comme sur le banc, mais avec un rendement qui décroît :

Les 40 premiers millimètres divisent U par 4,1 et retirent 2,072 W/(m²·K) ; passer de 160 à 200 mm n'en retire plus que 0,038. Pour viser U = 0,30, il faut 104 mm de cet isolant ; pour U = 0,20, 162 mm. Comme U est l'inverse d'une somme, chaque centimètre ajouté compte de moins en moins : le choix de l'épaisseur se fait ensuite sur le coût de l'énergie économisée (chapitre 58).

5.7 Température de surface et risque de condensation

Le chapitre 1 a montré que toute surface plus froide que la température de rosée t_d de l'air se couvre d'eau. La température de surface intérieure θ_si se compare donc directement à t_d. Pour cette vérification, la norme EN ISO 13788 retient une résistance intérieure plus forte que pour le calcul de U, 0,25 m²·K/W pour une paroi opaque, afin de représenter les angles, les meubles et les rideaux qui freinent l'échange. Elle exprime le résultat sous une forme qui ne dépend pas des températures choisies, le facteur de température :

f_Rsi = (θ_si − θ_e) / (θ_i − θ_e)

f_Rsi vaut 1 pour une paroi parfaite et 0 pour une surface à la température extérieure.

5.8 Exemple : le même mur sans isolant

Le local est à 20 °C et 50 %, l'extérieur à −5 °C. On compare le mur nu (enduit, blocs, enduit extérieur) au mur isolé de 120 mm.

1. Rosée de l'air intérieur (formule de Magnus, chapitre 1) : t_d = 9,26 °C, soit 9,3 °C. À 40 %, elle serait de 6,0 °C ; à 60 %, de 12,0 °C.
2. Mur nu, calcul de U : Σ d/λ = 0,1956, R_T = 0,3656 m²·K/W, U = 2,74 W/(m²·K), q = 68,4 W/m². Avec R_si = 0,13, θ_si = 20 − 0,13 × 68,4 = 11,1 °C : au-dessus de 9,3 °C, en plein mur.
3. Mur nu, vérification EN ISO 13788 : avec R_si = 0,25, R_T = 0,4856, q = 51,5 W/m² et θ_si = 20 − 0,25 × 51,5 = 7,1 °C, soit f_Rsi = 0,485. Derrière une armoire ou dans un angle, la surface descend sous 9,3 °C : elle condense.
4. Seuil : pour rester au-dessus de 9,3 °C par −5 °C, il faut f_Rsi ≥ (9,26 + 5) / 25 = 0,570.
5. Mur isolé de 120 mm, même vérification : θ_si = 18,4 °C et f_Rsi = 0,936, loin du seuil. Pour 10 m², la déperdition calculée avec U (R_si = 0,13) tombe de 684 W à 65,9 W.

L'isolation ne sert donc pas qu'à économiser : en relevant la température de la face intérieure, elle supprime la condensation de surface. Le critère de moisissure, plus sévère (humidité relative de 80 % au contact de la surface), et la condensation dans l'épaisseur de la paroi sont traités au chapitre 16.

5.9 Paroi cylindrique : le tube calorifugé

Autour d'un tube, la surface traversée par le flux grandit avec le rayon : le flux total se conserve, mais la densité de flux baisse vers l'extérieur et le profil de température n'est plus droit, il est logarithmique. On raisonne par mètre de tube, avec une résistance linéique :

R'_isolant = ln(r₂ / r₁) / (2 π λ) R'_surface = 1 / (h_e · 2 π r₂) q' = Δθ / ΣR' W/m

1. Tube acier DN 50 de diamètre extérieur 60,3 mm, eau à 70 °C, ambiance à 20 °C, coquille de laine minérale de 30 mm (λ = 0,040 à la température moyenne). On néglige les résistances de l'acier et de l'échange côté eau, très faibles.
2. r₁ = 30,15 mm, r₂ = 60,15 mm : ln(r₂/r₁) = 0,6907, d'où R'_isolant = 2,748 m·K/W.
3. Échange extérieur : avec h_e ≈ 10 W/(m²·K), ordre de grandeur pour la convection naturelle et le rayonnement d'une coquille, R'_surface = 0,265 m·K/W.
4. q' = 50 / (2,748 + 0,265) = 16,6 W/m. Avec 20 mm, 21,3 W/m ; avec 50 mm, 12,2 W/m.
5. Le même tube nu, avec le même h_e, perdrait 94,7 W/m, 5,7 fois plus. En réalité un tube nu à 70 °C rayonne davantage et perd plus encore.

Traiter les 30 mm comme une paroi plane posée sur la surface du tube donnerait R' = 3,959 m·K/W, 44 % de trop : sur les petits diamètres, la courbure compte. Le rayon r_c = λ / h_e, ici 4,0 mm, est le rayon critique : tant que le rayon extérieur de l'isolant reste en dessous, ajouter de l'isolant fait baisser la résistance de surface plus vite que monte celle de l'isolant, et la perte croît. Cela ne concerne que les fils et les très petits tubes. Les pertes des réseaux sont détaillées au chapitre 29.

À retenir

• Loi de Fourier : q = − λ dθ/dx ; une couche a la résistance R = d / λ.
• Les couches en série additionnent leurs résistances ; la chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance, et c'est l'isolant qui la prend.
• U = 1 / (R_si + Σ d/λ + R_se), avec R_si = 0,13 et R_se = 0,04 pour un mur (EN ISO 6946) ; Φ = U · A · Δθ.
• Le gain d'une épaisseur supplémentaire décroît vite : U est l'inverse d'une somme.
• θ_si = θ_i − (R_si / R_T) Δθ ; comparée à la rosée, elle dit si la surface condense (f_Rsi, EN ISO 13788).
• Autour d'un tube, R' = ln(r₂/r₁) / (2 π λ), par mètre.

Sources publiques : J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur (1822), pour la loi de conduction ; norme EN ISO 6946, Composants et parois de bâtiments, résistance thermique et coefficient de transmission thermique, méthode de calcul, pour R_si, R_se et U ; norme EN ISO 10456, Matériaux et produits pour le bâtiment, propriétés hygrothermiques, pour l'ordre de grandeur des conductivités et la notion de valeur utile ; norme EN ISO 13788, Performance hygrothermique des composants et parois de bâtiments, pour f_Rsi et la résistance intérieure de 0,25 m²·K/W ; méthodes de la plaque chaude gardée (ISO 8302, EN 12667) et de la boîte chaude gardée (ISO 8990) pour le principe du banc ; OMM, Guide des instruments et des méthodes d'observation (OMM-n° 8), pour la formule de Magnus ; diamètre extérieur normalisé du tube DN 50 (60,3 mm) ; formule classique de la paroi cylindrique. Les conductivités sont des valeurs typiques, pas des valeurs certifiées. Tous les nombres de ce chapitre sont calculés par le modèle du cours.