Dynamique et réglage des boucles (P, PI, PID)

Une installation bien dimensionnée peut encore mal fonctionner. Si la vanne qui dose l'eau chaude d'une batterie bat sans cesse, la température de soufflage ondule, le servomoteur s'use et la GTB se remplit d'alarmes. La cause n'est ni la batterie ni la vanne, c'est le réglage du régulateur. Ce chapitre règle la boucle de soufflage de la centrale du plateau de bureaux. Il part de la physique qui fixe sa vitesse, compare les méthodes publiques de réglage sur ce même procédé, puis passe à une boucle plus lente du même bâtiment.

57.1 La boucle et son vocabulaire

La batterie chaude de la centrale d'air neuf (chapitre 36) réchauffe 5 000 m³/h d'air neuf. Par 5 °C et 90 % d'humidité dehors, le récupérateur rend l'air à 16,25 °C, la batterie le porte à 18,99 °C et le ventilateur ajoute 1,01 K. L'air est soufflé à 20,00 °C, la consigne de la centrale (chapitre 42). La batterie fournit alors 4,63 kW sur les 9,65 kW de son dimensionnement. Sa vanne deux voies à caractéristique égal pourcentage, de kvs 4 et d'autorité 0,484 (chapitre 24), est ouverte à 65,4 % de sa course et laisse passer 35,8 % du débit nominal, soit 298 kg/h.

Chaque élément de cette chaîne a un nom :

Consigne (SP) et mesure (PV)

La température voulue et celle que lit la sonde de soufflage. Leur différence est l'erreur, e = SP − PV.

Commande (Y)

Le signal du régulateur au servomoteur, de 0 à 100 %. L'organe de réglage est la vanne et son servomoteur ; le capteur est la sonde.

Procédé

Tout ce qui sépare la commande de la mesure : servomoteur, vanne, batterie, transport de l'air, sonde.

Perturbation

Ce qui déplace la mesure sans passer par la commande : ici l'air extérieur qui tombe de 5 à 0 °C, l'air arrivant alors à la batterie à 15,00 °C. Il faut 6,73 kW pour tenir la consigne.

Le régulateur le plus simple est le tout ou rien, avec un différentiel pour ne pas battre. C'est celui du thermostat d'ambiance de la maison (chapitres 22 à 26), et il convient quand le procédé est lent et l'organe binaire. Sur une batterie d'air neuf il ne convient pas : vanne fermée, l'air sortirait à 16,25 °C ; vanne ouverte à 5 °C dehors, il sortirait à 21,44 °C et serait soufflé à 22,45 °C. Il faut une commande continue.

57.2 Gain, constante de temps, temps mort

La plupart des boucles de génie climatique se décrivent, à l'ordre de grandeur près, par un premier ordre à temps mort :

Ces trois nombres sortent de la physique de l'installation. Le gain est la pente de la température de sortie en fonction de la course : la caractéristique de la vanne (chapitre 24) et celle de la batterie (chapitre 36) le fixent. La constante de temps de la batterie vient de sa capacité thermique, 9,63 kJ/K pour 1,77 L d'eau dans les tubes, 2,35 kg de cuivre et 1,52 kg d'aluminium. Cette capacité échange avec l'eau qui la traverse et avec l'air :

À 65,4 % de course, m·c_p vaut 345,6 W/K et ε·C_a vaut 0,128 × 1 691,7 W/K, d'où τ = 17,1 s. Vanne grande ouverte, τ tombe à 7,2 s ; à 30 % de course, elle monte à 42,8 s. Moins il passe d'eau, plus la batterie est lente.

La sonde ajoute sa propre constante. Une gaine inox de 6 mm dans l'air à 6,31 m/s (gaine principale de 550 × 400) échange avec un nombre de Nusselt de 25,7 (corrélation de Churchill et Bernstein), soit h = 110,2 W/(m²·K), d'où τ = 16,4 s. L'air met 1,25 s à aller de la batterie à la sonde, et le servomoteur parcourt sa course en 60 s, soit 1,67 %/s.

Ces morceaux se combinent en un procédé que l'on identifie sur site par un échelon en boucle ouverte : régulateur en manuel, on déplace la commande d'un coup et on enregistre la mesure. La méthode des deux points (Smith) lit les instants où la mesure a fait 28,3 % et 63,2 % de sa variation :

1. Échelon de commande de 65,4 % à 75,4 % de course ; la mesure monte de 0,932 K. K = 0,932 / 10 = 0,0932 K/%.
2. La mesure a fait 28,3 % de sa variation à t₂₈ = 19,4 s et 63,2 % à t₆₃ = 35,3 s.
3. τ = 1,5 × (35,3 − 19,4) = 23,8 s ; θ = 35,3 − 23,8 = 11,5 s ; θ/τ = 0,485.
4. La tangente au point d'inflexion (Ziegler et Nichols) donne sur la même courbe τ = 39,4 s et θ = 8,3 s. Les deux méthodes ne lisent pas la même chose : le procédé réel est une suite de retards, pas un vrai premier ordre.

Le « temps mort » de 11,5 s n'est pas un tuyau de 11 s : c'est surtout l'effet cumulé du servomoteur, de la sonde et de la batterie, que le modèle simple ramasse en un retard. Le gain linéarisé au point de fonctionnement vaut 0,1002 K/% ; l'échelon de 10 % lit une moyenne un peu plus faible, car la courbe s'aplatit vers l'ouverture.

57.3 P, PI, PID : ce que fait chaque action

Le régulateur PID standard, dans sa forme classique (dite ISA), s'écrit :

Les unités disent ce que règle chaque molette. K_p s'exprime en % de course par kelvin d'erreur. Les régulateurs de bâtiment l'affichent souvent en bande proportionnelle, l'écart qui fait parcourir toute la course : X_p = 100/K_p, en K. T_i et T_d sont en secondes. En forme parallèle, K_i est en %/(K·s) et K_d en %·s/K. Un même jeu de valeurs donne des réglages très différents selon la forme : il faut lire la notice avant de recopier des chiffres d'un appareil à l'autre.

L'action proportionnelle seule laisse une erreur. Pour tenir la vanne ailleurs qu'à sa position de départ, il faut un écart. Avec le gain linéarisé de 0,1002 K/%, un échelon de consigne de 1 K laisse 1/(1 + K_p·K) : 0,311 K avec K_p = 22,1 %/K. La simulation, non linéaire, donne 0,322 K. L'action intégrale accumule l'erreur jusqu'à l'annuler, mais elle ajoute du retard de phase et pousse vers l'oscillation. L'action dérivée anticipe la pente et freine le dépassement. On la calcule sur la mesure plutôt que sur l'erreur, pour qu'un saut de consigne ne donne pas un à-coup brutal à la vanne. Comme elle amplifie le bruit de mesure, on la filtre par T_d/N, avec N = 10 ici.

57.4 Stabilité : marge de gain et pompage

Une boucle fermée oscille quand le retour de la mesure arrive en opposition de phase, avec assez de gain pour s'entretenir. Le rapport θ/τ dit la difficulté : sous 0,2 la boucle supporte un gain élevé, au-delà de 1 le temps mort domine et il faut être patient. La batterie, à 0,485, est une boucle moyenne. La marge de gain est le facteur par lequel on peut multiplier le gain de boucle avant l'oscillation entretenue. La marge de phase est le retard de phase supplémentaire supporté au gain unité. La règle de l'art vise au moins 2 en gain et 45° en phase.

Le gain critique K_u est le gain du P seul qui entretient l'oscillation, de période P_u. Sur le modèle linéarisé du procédé, il vaudrait 197,7 %/K (bande de 0,51 K) pour une période de 24,3 s. Sur le site, l'essai de pompage en P seul donne 103,2 %/K (bande de 0,97 K), une période de 47,4 s et une oscillation de ±0,28 K. La différence vient du servomoteur : à 1,67 %/s il ne suit plus une commande qui bat, et cette limite de vitesse ajoute un retard que le calcul linéaire ignore. Le résultat dépend donc de l'amplitude de l'essai : 144,4 %/K avec un échelon de 0,1 K. Calculées sur le modèle linéarisé, les marges de ce chapitre flattent les réglages vifs : le PID de Ziegler et Nichols en boucle fermée affiche 4,84 en gain, mais son gain n'est qu'à 1,67 fois celui du pompage sur site, et avec un servomoteur instantané il ne dépasserait que de 14,4 % au lieu de 40,3 %.

57.5 Méthodes de réglage, comparées sur la même batterie

Les méthodes publiques partent toutes de K, τ et θ, ou de K_u et P_u :

Ziegler et Nichols (1942) visaient un amortissement d'un quart d'amplitude par période : rapide, mais nerveux. Ils lisaient le procédé sur la tangente ; on applique ici leurs coefficients aux τ et θ des deux points. Avec ceux de la tangente (39,4 s et 8,3 s), leur PI monterait à 45,7 %/K et dépasserait de 52,0 %, avec 25,4° de marge de phase. La méthode lambda choisit la constante de temps λ de la boucle fermée, ici égale à τ. La méthode SIMC de Skogestad (2003) prend τ_c = θ comme compromis entre vitesse et robustesse.

1. SIMC : K_p = 23,8 / (0,0932 × (11,5 + 11,5)) = 11,1 %/K, soit une bande de 9,04 K ; T_i = min(23,8 ; 92,2) = 23,8 s.
2. Ziegler-Nichols PI : K_p = 0,9 × 23,8 / (0,0932 × 11,5) = 19,9 %/K ; T_i = 3,33 × 11,5 = 38,4 s.
3. Lambda, λ = τ : K_p = 23,8 / (0,0932 × 35,3) = 7,2 %/K ; T_i = 23,8 s.
4. Ziegler-Nichols en boucle fermée, sur l'essai de pompage : K_p = 0,6 × 103,2 = 61,9 %/K ; T_i = 47,4/2 = 23,7 s ; T_d = 47,4/8 = 5,9 s.

Le tableau compare les réponses simulées à un échelon de consigne de +1 K et à la chute de l'air neuf de 5 à 0 °C, sur 600 s. « Dép. » est le dépassement, t₅ le temps pour rester à 5 % de la valeur finale, « écart » l'écart maximal après la perturbation, GM la marge de gain.

K_p en %/K, écart en K. ZN BF : Ziegler et Nichols en boucle fermée (PID) ; SIMC et lambda sont des PI. ZN P garde 0,322 K d'erreur à l'échelon et 0,355 K après la perturbation ; tous les autres l'annulent.

Trois leçons. Le P seul de Ziegler et Nichols est stable mais faux de 0,3 K. Les réglages de Ziegler et Nichols avec dérivée corrigent vite la perturbation : 0,14 K d'écart en boucle fermée, revenu dans 0,1 K en 31 s. Ils dépassent en revanche de 30 à 40 % à l'échelon, et en boucle fermée la vanne parcourt 87 % de course cumulée pour 1 K de consigne, contre 21 % avec SIMC. SIMC et lambda tiennent leurs promesses : peu ou pas de dépassement, des marges larges, une vanne qui bouge peu, au prix d'un écart de 0,5 à 0,6 K quand l'air neuf chute. Sur une centrale d'air, où l'occupant ne sent pas 0,5 K de soufflage pendant une minute, SIMC est un bon point de départ.

57.6 Les non-linéarités qui défont un réglage

Le gain change avec la charge. La caractéristique installée de la vanne et l'efficacité de la batterie font varier K d'un régime à l'autre. Avec le réglage SIMC calculé à 5 °C :

K en K/%, τ de la batterie seule. La batterie fournit 2,54, 4,63 et 6,73 kW à ces trois régimes.

À 10 °C la boucle devient paresseuse : trois fois moins de gain et une batterie deux fois plus lente. À −7 °C la vanne est grande ouverte et la batterie donne ses 9,65 kW : il n'y a plus de réserve, la boucle ne règle plus. Un réglage se fait donc au régime où la boucle est la plus vive, et se vérifie aux autres.

Une vanne surdimensionnée déplace le point de travail vers les petites courses. Avec kvs 10 (autorité 0,131), la vanne travaille à 49,3 % à 5 °C et le gain ne varie que d'un facteur 0,95 : la caractéristique égal pourcentage compense. Avec kvs 25 et 10 °C dehors, elle travaille à 7,7 % de course, dans la partie à fermeture linéaire du bas de course (chapitre 24). Le gain y vaut 0,1042 K/%, 3,28 fois celui de la vanne de kvs 4 au même régime, et la marge de phase descend à 46,7°. En général, doubler le gain de boucle divise la marge de gain par deux : 5,73 et 40,6° pour SIMC, 3,87 et 34,7° pour le PI de Ziegler et Nichols, qui sort de la règle de l'art en phase et devient nerveux.

Jeu et collage. Un jeu pur de 2 % dans la transmission ne fait pas osciller ce PI : l'intégrale finit par le rattraper. Le frottement qui colle la tige est plus méchant. Une tige qui ne bouge que lorsque le servomoteur s'en est écarté de 1 % de course, puis saute, entretient un cycle limite de ±0,038 K, ±0,51 % de course et 135 s de période. Cela fait 53 % de course par heure, sans que personne ne touche au réglage. C'est la signature d'un presse-étoupe trop serré.

Saturation et emballement de l'intégrale. Quand la vanne est en butée, l'intégrale continue d'accumuler l'erreur. Elle doit ensuite la « désaccumuler », et la mesure dépasse. Le cas suivant arrête la pompe de la batterie pendant 600 s, réglage SIMC :

1. Pompe arrêtée : le soufflage descend de 2,73 K, la commande sature à 100 %.
2. Sans anti-emballement, l'intégrale a monté bien au-delà de 100 %. Au redémarrage, le soufflage dépasse la consigne de 2,45 K et met 650 s à revenir dans 0,1 K ; IAE = 2 747 K·s.
3. Avec anti-emballement par recalcul (l'intégrale est ramenée vers la commande réellement envoyée), le dépassement tombe à 1,49 K, le retour à 109 s et l'IAE à 1 448 K·s.

Échantillonnage et bruit. Un régulateur numérique calcule toutes les T_s secondes. À T_s = 10 s, le même réglage SIMC perd une grande part de sa marge : marge de gain 3,41, marge de phase 47,9°, dépassement 17,8 % et t₅ de 91 s. La règle de l'art veut une période d'échantillonnage petite devant θ, de l'ordre du dixième ; le régulateur du banc calcule à 1 s. Le bruit de mesure, lui, se paie en usure. Avec ±0,05 K de bruit, la vanne parcourt 13,2 courses complètes par heure en SIMC, 23,9 en PI de Ziegler et Nichols et 52,8 en PID. C'est pourquoi la dérivée est rarement utile en génie climatique.

57.7 Une boucle plus lente : le départ des ventilo-convecteurs

La chaufferie du plateau (chapitre 65) alimente les ventilo-convecteurs par une vanne trois voies mélangeuse, à débit constant de 0,756 kg/s. À 5 °C dehors, la charge est de 45,5 % et la loi d'eau demande un départ à 31,36 °C. Le retour revient à 26,82 °C, et un quart du débit seulement est puisé aux chaudières à 45 °C. Le procédé est d'une autre nature. L'eau mélangée met 8,75 s à parcourir 3 m de DN 50 jusqu'à la sonde, qui est à plongeur en doigt de gant (environ 40 s, ordre de grandeur). Le servomoteur prend 150 s pour la course. Surtout, l'eau fait le tour du réseau : 515 L à parcourir, soit 679 s (11,3 min). Ce qui part plus chaud revient plus chaud et réchauffe encore le mélange. Le gain immédiat vaut 0,1818 K/% ; le gain final, une fois le réseau revenu, 0,3306 K/%, 1,82 fois plus.

Identifiée sur 300 s, la boucle donne K = 0,1856 K/%, τ = 41,7 s et θ = 16,2 s, avec K_u = 40,9 %/K et P_u = 34,1 s. Le gain est double de celui de la batterie (1,99 fois) et le temps mort 1,41 fois plus long. Le réglage SIMC de la batterie (11,1 %/K, 23,8 s) appliqué tel quel donne un dépassement de 48,6 %, alors que ses marges linéaires, 3,09 en gain et 46,9° en phase, restent dans la règle de l'art. Plus de la moitié de ce dépassement tient au servomoteur de 150 s : pendant qu'il court, l'intégrale continue de monter. Avec un servomoteur instantané, le dépassement ne serait que de 22,2 %. Le réglage SIMC propre à cette boucle (6,93 %/K, 41,7 s) dépasse de 1,9 %, se pose en 64 s et garde une marge de 5,42. Le réglage lambda (3,88 %/K) dépasse de 3,3 % mais met 152 s. Copier les réglages d'une boucle à une autre « parce que c'est de l'eau chaude » est une erreur fréquente sur site.

57.8 Cascade et compensation extérieure

Quand une perturbation entre tôt dans la chaîne, une boucle intérieure rapide la corrige avant qu'elle n'atteigne la grandeur qui compte. C'est la régulation en cascade. Dans une centrale qui traite une zone, la boucle d'ambiance, plus lente, ne commande pas la vanne : elle donne la consigne de soufflage à la boucle de ce chapitre, bornée entre deux limites. La règle de l'art veut une boucle intérieure au moins trois à cinq fois plus rapide que l'extérieure ; on règle d'abord l'intérieure, puis l'extérieure avec l'intérieure en automatique.

La loi d'eau (chapitres 65 et 70) est une action anticipatrice. La température extérieure, que l'on mesure avant que la charge ne bouge, donne directement la consigne de départ : 31,36 °C à 5 °C dehors pour les ventilo-convecteurs du plateau. La boucle de départ n'a plus qu'à corriger l'écart, et le réglage des émetteurs ne travaille plus qu'aux apports internes. Une loi bien posée réduit l'effort de toutes les boucles en aval.

57.9 Régler sur site et diagnostiquer

La méthode qui marche se fait en quatre gestes. On passe le régulateur en manuel et on fait un échelon de commande de 5 à 10 % au point de fonctionnement habituel ; on lit K, τ et θ. On calcule un réglage SIMC ou lambda. On repasse en automatique et on fait un échelon de consigne pour vérifier un dépassement de quelques pour cent. Enfin, on note le réglage et l'essai dans le dossier de mise en service (chapitre 69). L'essai de pompage de Ziegler et Nichols, s'il est fait, se fait avec prudence : il met l'installation au bord de l'oscillation.

Les signes d'un mauvais réglage sont visibles sans appareil. Une mesure qui ondule avec une période proche de P_u signale un gain trop fort ou un T_i trop court. Une erreur qui ne se résorbe pas signale un P seul ou une vanne en butée. Un servomoteur qui « chasse » en continu signale du bruit, une dérivée ou un collage. Une vanne qui ne quitte jamais le bas de sa course est surdimensionnée. La maintenance (chapitre 71) retrouve ces défauts en presse-étoupes usés et en servomoteurs fatigués.

Pour qu'une boucle se diagnostique à distance, la GTB (chapitre 67) doit en enregistrer la consigne, la mesure, la commande et, si possible, la recopie de position du servomoteur, avec le mode auto ou manuel. Pendant les essais, il faut un point par seconde, la période de calcul du régulateur ; en exploitation, des moyennes à la minute ne voient plus un pompage de 47 s. Trois indicateurs se calculent alors sans effort : la course cumulée par jour, le temps passé en butée et l'intégrale de l'erreur absolue.

À retenir

• Gain, constante de temps et temps mort sortent de la physique : vanne, capacité de la batterie, sonde, servomoteur, transport. Un échelon en manuel les mesure.
• Le P seul laisse une erreur ; l'intégrale l'annule mais pousse à l'oscillation ; la dérivée anticipe mais use la vanne avec le bruit.
• Lire la forme (classique ou parallèle) et les unités (K_p en %/K ou bande en K) avant de recopier un réglage.
• Sur la batterie du plateau, SIMC (11,1 %/K, 23,8 s) dépasse de 5,5 %, garde une marge de gain de 11,47 et fait bouger quatre fois moins la vanne que Ziegler et Nichols en boucle fermée.
• Le gain varie avec la charge et la taille de la vanne : régler au régime le plus vif, vérifier aux autres.
• Toujours un anti-emballement : sans lui, un arrêt de pompe de 10 min se paie de 2,45 K de dépassement et de 11 min de retour.
• Une boucle lente ne prend pas les réglages d'une boucle rapide : le départ des ventilo-convecteurs, avec ceux de la batterie, dépasse de 49 %.
• Cascade et loi d'eau soulagent les boucles ; la GTB doit garder consigne, mesure, commande et position à quelques secondes pour qu'on puisse les diagnostiquer.

Sources publiques : J. G. Ziegler et N. B. Nichols, « Optimum settings for automatic controllers », Transactions of the ASME 64, 1942 ; C. L. Smith, Digital Computer Process Control, Intext, 1972 (méthode des deux points) ; K. J. Åström et T. Hägglund, PID Controllers : Theory, Design and Tuning, ISA, 1995, et Advanced PID Control, ISA, 2006 (formes, filtre de dérivée, anti-emballement, marges) ; S. Skogestad, « Simple analytic rules for model reduction and PID controller tuning », Journal of Process Control 13, 2003 (SIMC) ; E. B. Dahlin, 1968 (méthode lambda) ; S. W. Churchill et M. Bernstein, convection forcée autour d'un cylindre, Journal of Heat Transfer 99, 1977 ; O. Levenspiel, Chemical Reaction Engineering (cuves en série) ; ASHRAE Handbook, Fundamentals, chapitre sur les principes de régulation, et HVAC Applications, chapitre sur la régulation des installations ; IEC 60534-1 (terminologie des vannes de régulation, sans valeur tirée ; caractéristiques au chapitre 24). Nombres : le modèle du cours, qui importe le modèle commun du cours et les modèles des chapitres 24 et 36.