Unités, gaz parfaits, énergie

Un projet de génie climatique compte l'air en mètres cubes par heure, l'eau en litres par heure, la pression en bars au manomètre et l'énergie en kilowattheures sur la facture. Ce chapitre pose les unités et les ordres de grandeur, la loi des gaz parfaits, puis le premier principe, qui fait le compte de l'énergie, du piston à la centrale de traitement d'air.

3.1 Les unités du métier

Le Système international part du kilogramme, du mètre, de la seconde et du kelvin, et en déduit le reste. Une force s'exprime en newtons, une pression en pascals (un newton par mètre carré), une énergie en joules (un newton sur un mètre) et une puissance en watts (un joule par seconde). Le métier y ajoute des unités pratiques.

Deux confusions reviennent sans cesse. La première oppose puissance et énergie. Le kilowatt est un débit d'énergie, le kilowattheure une quantité : une chaudière de 12 kW qui tourne une heure à pleine puissance fournit 12 kWh, et une heure de 1 kW vaut 3,6 MJ. Une chaudière « consomme » donc des kilowattheures, jamais des kilowatts. La seconde oppose pression relative et pression absolue. Un manomètre lit l'écart avec l'atmosphère, la loi des gaz demande la pression absolue. L'atmosphère normale vaut 101 325 Pa, soit 1,01325 bar ; au chapitre 25, on la compte pour 1 bar, ce qui suffit pour un vase d'expansion.

Le mètre de colonne d'eau (mCE) reste l'unité des hauteurs manométriques de pompe : c'est la pression au fond d'une colonne d'eau de 1 m, comptée par convention avec une eau à 1 000 kg/m³ et la pesanteur normale, d'où 1 bar = 10,197 mCE. Les températures se notent en degrés Celsius, mais un écart de température se note en kelvins : de 45 à 55 °C, l'écart vaut 10 K. Dans toute formule où la température est multipliée ou divisée, comme la loi des gaz, c'est la température absolue en kelvins qui compte.

3.2 Ordres de grandeur

Rapportées au kilogramme de fluide, les formes d'énergie d'une installation n'ont pas le même poids.

Un seul kelvin d'échauffement de l'air pèse vingt fois l'énergie cinétique d'un soufflage à 10 m/s, et l'eau d'un réseau de chauffage qui circule à 1 m/s porte 0,5 J/kg sous forme cinétique contre 4 186 J/kg par kelvin. Les bilans thermiques ignorent donc presque toujours vitesse et altitude ; pour un ventilateur ou une pompe, en revanche, pression et vitesse sont le résultat cherché (chapitres 9 et 31).

3.3 Le gaz parfait

Dans un gaz peu dense, les molécules sont loin les unes des autres et n'interagissent qu'en se heurtant. Leur agitation, mesurée par la température absolue, et leur nombre par unité de volume suffisent alors à fixer la pression. C'est la loi des gaz parfaits :

p V = m r T, r = R / M, ρ = m / V = p / (r T)

où R = 8,314 462 618 J/(mol·K) est la constante molaire, exacte depuis la redéfinition du SI de 2019, et M la masse molaire. Pour l'air sec, M = 28,9644 g/mol (valeur de l'atmosphère type ISO 2533:1975) donne r = 287,058 J/(kg·K) ; le cours retient 287,06 J/(kg·K), comme au chapitre 1. Pour la vapeur d'eau, M = 18,01528 g/mol et r_v = 461,52 J/(kg·K). Le rapport des deux, 0,6220, est le 0,622 de la formule de l'humidité absolue. Aux conditions du bâtiment, l'air et sa vapeur suivent cette loi bien mieux que nos mesures ne savent le déceler.

La masse volumique de l'air dépend donc de la température et de la pression ; à 101 325 Pa :

La pression baisse avec l'altitude. L'atmosphère type donne p = 101 325 (1 − 2,25577·10⁻⁵ z)^5,25588 Pa, z en mètres, formule déjà employée aux chapitres 31 et 74 : à 1 000 m, la pression vaut 89 875 Pa, soit 88,7 % de sa valeur au niveau de la mer.

L'air humide est un mélange de deux gaz parfaits. Selon la loi de Dalton, chacun occupe tout le volume comme s'il était seul, et la pression totale est la somme des pressions partielles, p = p_a + e. La masse d'air sec par mètre cube se calcule avec la seule pression de l'air sec : ρ_a = (p − e) / (r_a T). Dans la reprise d'été du plateau de bureaux, à 26 °C et 10,47 g/kg, la vapeur exerce e = 1 677 Pa et l'air sec 99 648 Pa ; un mètre cube contient 1,1604 kg d'air sec, contre 1,1799 kg pour de l'air parfaitement sec à la même température. Le mélange humide pèse 1,1725 kg/m³ : il est plus léger que l'air sec, car la molécule d'eau est plus légère que celles de l'azote et de l'oxygène. Le chapitre 1 développe ces grandeurs et le chapitre 2 les met en diagramme.

3.4 Travail, chaleur et énergie interne : le banc à piston

La figure 3.1 montre le banc classique de la thermodynamique : un cylindre de verre épais d'alésage 40 mm, soit 12,566 cm² de section, fermé par un piston étanche que l'on suppose sans frottement. Le piston, sa tige et son plateau pèsent 0,5 kg, et l'on y empile des masses de 1 kg. Sous deux masses, la charge vaut 24,52 N ; la pression de l'air enfermé est celle qui équilibre la charge et l'atmosphère, 120 835 Pa absolus, que le manomètre lit 0,195 bar. À 20 °C, l'air occupe alors 100 mm de hauteur, soit 125,66 cm³ et 0,1804 g. Une résistance chauffe l'air par le fond, et un compteur intègre l'énergie électrique qu'elle reçoit.

L'énergie de l'air enfermé ne change que de deux façons : par la chaleur Q reçue à travers ses parois, ici celle de la résistance, et par le travail W qu'il fournit en repoussant le piston. Ce qui reste s'accumule en énergie interne U, l'énergie d'agitation des molécules. C'est le premier principe pour un système fermé :

Q = ΔU + W, W = ∫ p dV, ΔU = m c_v ΔT

Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température, d'où la dernière égalité. On définit aussi l'enthalpie H = U + pV, qui vérifie ΔH = m c_p ΔT. Les deux capacités thermiques massiques sont reliées par la relation de Mayer, c_p − c_v = r. Avec c_p = 1 006 J/(kg·K) pour l'air sec, comme aux chapitres 1 et 35, on trouve c_v = 718,94 J/(kg·K) et le rapport κ = c_p/c_v = 1,3993. La formulation de référence de l'air réel, appelée par le modèle à 20 °C, donne 1 006,1 J/(kg·K), 717,7 J/(kg·K) et 1,402 : l'écart est négligeable pour le bâtiment.

Quand le piston est libre, la charge impose la pression : la chauffe est isobare. L'air se dilate, soulève la charge et fournit le travail W = p ΔV. Quand une goupille bloque la tige, le volume ne change plus : la chauffe est isochore, aucun travail n'est échangé et toute la chaleur reste en énergie interne.

1. Chauffe isobare, deux masses, Q = 10 J. Toute la chaleur sert à augmenter l'enthalpie : ΔT = Q / (m c_p) = 55,09 K. L'air passe à 348,24 K, soit 75,1 °C, et son volume à 149,28 cm³ ; le piston monte de 100 à 118,8 mm.
2. Bilan : W = p ΔV = 2,853 J et ΔU = m c_v ΔT = 7,147 J, dont la somme redonne les 10 J. Le travail représente la part r/c_p = 0,2853 de la chaleur fournie, quelle que soit la charge, et ΔH = Q = 10,000 J.
3. Chauffe isochore, même air, même chaleur. Sans travail, ΔU = Q = 10 J et ΔT = Q / (m c_v) = 77,08 K : l'air monte à 370,23 K, soit 97,1 °C, κ fois plus qu'à pression constante. La pression atteint 1,5261 bar absolus (0,513 bar au manomètre) et ΔH = 13,993 J, plus que la chaleur reçue.

Le travail de la chauffe isobare soulève la charge et repousse l'atmosphère : à pression constante, le même échauffement demande plus de chaleur, d'où c_p > c_v. Aux limites du banc, l'air chauffé de 15 J sans masse soulève le piston à 147,2 mm et 102,6 °C ; bloqué sous quatre masses, il monte à 0,889 bar au manomètre et 135,6 °C.

3.5 Les autres transformations

Entre l'isobare et l'isochore se rangent trois autres évolutions idéales d'un gaz parfait. L'isotherme garde la température constante : pV reste constant, c'est la loi de Boyle-Mariotte, et le travail vaut m r T ln(V₂/V₁). L'adiabatique réversible n'échange aucune chaleur et suit pV^κ = constante. La polytropique pVⁿ = constante décrit les cas réels intermédiaires, avec un exposant n entre 1 et κ.

isotherme : p V = cte adiabatique réversible : p V^κ = cte polytropique : p Vⁿ = cte

Pour un compresseur d'air d'atelier, de 1 à 8 bar absolus depuis 20 °C, le travail de transvasement vaut 175,0 kJ/kg si la compression est isotherme, et 238,9 kJ/kg, soit 37 % de plus, si elle est adiabatique réversible ; l'air sort alors à 257 °C. Une compression polytropique d'exposant 1,3, plus proche d'une machine refroidie, sort à 201 °C et demande 224,6 kJ/kg. C'est pourquoi on refroidit les compresseurs et on les étage. Les compresseurs frigorifiques travaillent sur des vapeurs qui ne sont pas des gaz parfaits ; ils relèvent des chapitres 43 et 45.

Le vase d'expansion du chapitre 25 est l'application la plus courante de l'isotherme : son azote est comprimé lentement par l'eau qui se dilate, à température presque constante. Le vase de 8 L de la maison est gonflé à 0,40 bar relatif ; en pression absolue, comptée avec 1 bar d'atmosphère comme au chapitre 25, son gaz porte 11,20 bar·L. À 80 °C, sous 1,717 bar relatif, il n'occupe plus que 4,123 L et laisse 3,877 L à l'eau.

3.6 Système ouvert en régime permanent

Une batterie, un ventilateur ou une chaudière sont traversés par le fluide : on fait le bilan sur un volume fixe, traversé par le débit massique q_m, en régime permanent. Le travail nécessaire pour pousser le fluide à l'entrée et à la sortie s'ajoute à son énergie interne, et c'est précisément l'enthalpie qui apparaît :

Φ + P_méca = q_m (Δh + Δ(v²/2) + g Δz)

Φ est la puissance thermique reçue et P_méca la puissance mécanique reçue sur un arbre. Les ordres de grandeur du § 3.2 montrent qu'on peut presque toujours écrire Φ = q_m Δh dans une batterie, une chaudière ou un échangeur. Il faut garder les termes cinétique et potentiel dans trois cas : quand la vitesse change beaucoup (une bouche de soufflage, une tuyère), quand l'échange thermique est très faible devant eux, et pour les machines qui transmettent un travail, comme les ventilateurs, les pompes et les compresseurs.

Le ventilateur de la centrale du plateau absorbe 1 709 W, qui finissent tous en chaleur dans l'air, par frottement dans la roue puis dans le réseau. L'enthalpie de l'air augmente de 1,026 kJ/kg et l'air soufflé l'été passe de 12,50 à 13,50 °C. Ce degré n'est pas négligeable : la batterie froide doit le compenser (chapitre 37).

3.7 Capacités thermiques et formules pratiques

Pour un fluide qui ne change pas d'état, Δh = c_p ΔT, et la puissance d'une batterie ou d'un réseau d'eau prend sa forme pratique :

Φ = q_m c_p ΔT = ρ q_v c_p ΔT

Pour l'air, le cours prend c_p = 1 006 J/(kg·K) et, par convention de débit, 1,2 kg d'air sec par mètre cube. Le produit ρ c_p = 1 207,2 J/(m³·K), soit 0,3353 Wh/(m³·K), donne la règle de l'art « 0,34 » : Φ [W] ≈ 0,34 q_v [m³/h] ΔT [K]. Pour de l'air sec à 20 °C, la valeur exacte est 0,3365 Wh/(m³·K). Pour l'eau, c varie peu : la formulation de référence donne 4 195 J/(kg·K) à 10 °C, 4 184 à 20 °C, 4 181 à 50 °C et 4 197 à 80 °C. Le cours retient 4 186 J/(kg·K) pour les réseaux de chauffage. Un mètre cube d'eau à 50 °C stocke 4,136 MJ par kelvin, 3 426 fois plus qu'un mètre cube d'air : c'est la raison de transporter la chaleur par l'eau et l'air seulement sur les derniers mètres.

1. Réseau de radiateurs de la maison : 3 037 W à transporter avec une eau à 55/45 °C, soit ΔT = 10 K.
2. Débit massique : q_m = Φ / (c ΔT) = 3 037 / (4 186 × 10) = 0,0725 kg/s.
3. Débit volumique à la température moyenne de 50 °C, où ρ = 988,04 kg/m³ : 264,3 L/h, la valeur du chapitre 22.
4. La formule pratique q_v [L/h] = Φ [W] / (1,163 ΔT) suppose 1 kg par litre, soit 1,1628 Wh/(L·K) ; elle donne 261,2 L/h, 1,2 % de moins. À 50 °C, le produit ρ c vaut 1,1489 Wh/(L·K).

La forme Φ = q_m c_p ΔT ne vaut que si l'eau contenue dans l'air ne change pas d'état. La batterie chaude d'hiver de la centrale porte l'air de 13,25 à 18,98 °C, soit ΔT = 5,73 K. La différence d'enthalpie de la centrale donne 9,65 kW. Le calcul simplifié, 1,6667 kg/s × 1 006 J/(kg·K) × 5,73 K, donne 9,61 kW, soit 0,35 % de moins ; l'écart vient de la vapeur, qui s'échauffe aussi, et disparaît si l'on écrit c_p + x c_pv. La batterie froide d'été est tout autre. Elle refroidit l'air de 27,25 à 12,50 °C et le dessèche de 10,00 à 8,26 g/kg. Par différence d'enthalpie, elle échange 32,51 kW ; la formule sensible n'en voit que 24,74 kW, soit 23,9 % de moins. La vapeur condensée, 10,4 kg/h à 2 450 kJ/kg, en représente 7,10 kW. Le reste, 0,67 kW, vient surtout de la vapeur refroidie avec l'air. Pour une batterie froide, seule la différence d'enthalpie est juste (chapitres 36 et 37).

3.8 Débit volumique et débit massique

Une centrale se commande en mètres cubes par heure, mais l'énergie et la masse se conservent, pas le volume. Le débit massique d'air sec vaut q_m = ρ_a q_v, et ρ_a dépend de l'endroit où l'on mesure le débit volumique. Le cours fixe une convention de 1,2 kg d'air sec par mètre cube, qui donne pour la centrale de 5 000 m³/h du plateau 1,6667 kg/s. Si les 5 000 m³/h étaient comptés en chaque point du cycle, le débit massique vaudrait :

1. En été, le soufflage est froid et la reprise chaude. À volume égal, le soufflage porte 4,7 % de masse de plus que la reprise : si l'on règle les deux ventilateurs au même débit volumique, l'air soufflé et l'air repris ne s'équilibrent pas en masse.
2. En hiver, soufflage et reprise sont à la même température à 0,25 K près ; l'écart tombe à 0,27 %.
3. L'air neuf à −7 °C est 10,2 % plus dense que la convention. Relu avec 1,2 kg/m³, un débit volumique mesuré sur la prise d'air neuf sous-estime donc l'air réellement traité.

L'altitude agit de la même façon. À 1 000 m et 20 °C, la masse volumique de l'air sec tombe de 1,2041 à 1,0680 kg/m³, soit 11,3 % de moins. Les mêmes 5 000 m³/h ne transportent plus que 1,483 kg/s au lieu de 1,672 kg/s : une batterie dimensionnée en débit volumique avec la masse volumique du niveau de la mer surestimerait sa puissance d'autant. Un ventilateur, qui déplace un volume, voit sa pression et sa puissance baisser dans le même rapport (chapitre 31).

3.9 Puissance de pointe et énergie annuelle

La puissance de pointe dimensionne les équipements ; l'énergie annuelle fait la facture et le bilan carbone. On les relie par les heures équivalentes, la durée pendant laquelle il faudrait marcher à pleine puissance pour fournir l'énergie de l'année. La maison demande 2 805 W au point de projet (bâtiment entier ; la somme des pièces, 3 037 W, dimensionne les radiateurs) et consomme 6 549 kWh de chaleur par an, soit 23,58 GJ : cela fait 2 335 heures équivalentes, alors que le chauffage fonctionne 4 910 heures à une puissance moyenne de 1 334 W. Le chapitre 58 construit cette énergie par classes de température.

Côté combustible, les quantités se comptent en kilowattheures sur le pouvoir calorifique supérieur (PCS), qui inclut la chaleur de condensation de l'eau des fumées, ou sur le pouvoir calorifique inférieur (PCI), qui l'exclut. La chaudière de la maison (chapitre 28) brûle 7 067 kWh PCS, ou 6 368 kWh PCI, de méthane, soit 639 m³(n), le mètre cube normal étant mesuré à 0 °C et 101 325 Pa, à 11,06 kWh PCS par m³(n) (9,97 kWh PCI). Son rendement annuel vaut 92,7 % sur PCS. Une facture de gaz, un rendement ou un ratio de consommation sans mention PCS ou PCI est ambigu ; le chapitre 61 détaille la combustion.

3.10 Erreurs fréquentes

• 1,2 kg/m³ à toute température. C'est une convention de débit, pas une propriété de l'air. Appliquée à de l'air à 40 °C, elle surestime la masse de 6,5 %.
• Des degrés Celsius dans pV = m r T. Avec 20 au lieu de 293,15, l'air pèserait 17,65 kg/m³ au lieu de 1,204.
• Soufflage et reprise confondus. Le même débit volumique ne porte pas la même masse : 4,7 % d'écart l'été sur la centrale du plateau.
• kW et kWh. On passe de la puissance à l'énergie par une durée ; les heures équivalentes ne sont pas les heures de fonctionnement.
• Pression relative dans la loi des gaz. Calculé ainsi, le gaz du vase de la maison n'occuperait à 80 °C que 1,864 L au lieu de 4,123 L : on croirait loger 6,136 L d'eau, 58 % de trop.

À retenir

• Puissance en W, énergie en J ou en kWh (1 kWh = 3,6 MJ) ; écarts de température en K ; pression absolue dans toute loi physique.
• Gaz parfait : p V = m r T, r = 287,06 J/(kg·K) pour l'air sec, 461,52 J/(kg·K) pour la vapeur ; ρ = p / (r T), avec T en kelvins.
• Air humide : la pression est la somme des pressions partielles (Dalton) ; ρ_a = (p − e) / (r_a T).
• Système fermé : Q = ΔU + W ; ΔU = m c_v ΔT et ΔH = m c_p ΔT ; c_p − c_v = r.
• Système ouvert permanent : Φ + P_méca = q_m Δh, les termes cinétique et potentiel ne comptant que pour les machines et les grandes vitesses.
• Formules pratiques : Φ ≈ 0,34 q_v ΔT pour l'air (W, m³/h, K), q_v ≈ Φ / (1,163 ΔT) pour l'eau (L/h, W, K) ; une batterie froide se calcule par différence d'enthalpie.
• La puissance dimensionne, l'énergie se facture ; préciser PCS ou PCI pour tout combustible.

Sources publiques : Bureau international des poids et mesures, Le Système international d'unités, 9^e édition (2019) ; CODATA 2018 pour la constante molaire des gaz ; atmosphère type ISO 2533:1975 (en révision) et U.S. Standard Atmosphere (1976) pour la masse molaire de l'air sec et la loi de pression en altitude ; masses atomiques de l'IUPAC ; lois de Boyle-Mariotte, de Gay-Lussac et de Dalton ; relation de J. R. Mayer (1842) ; premier principe selon R. Clausius (1850) ; formulation IAPWS-95 (W. Wagner et A. Pruß, 2002, J. Phys. Chem. Ref. Data 31) pour l'eau et équation d'état de E. W. Lemmon et coll. (2000, J. Phys. Chem. Ref. Data 29) pour l'air, appelées par la bibliothèque libre CoolProp ; manuels généraux de thermodynamique. Installations de référence : centrale d'air neuf du plateau (chapitre 42), réseau et chaudière de la maison (chapitres 22 et 28), vase d'expansion (chapitre 25). Tous les nombres de ce chapitre sont calculés par le modèle du cours.