Le diagramme h-x et les transformations

Le chapitre 1 a donné les formules de l'air humide. Celui-ci les dessine. Sur le diagramme h-x, un état d'air est un point, et chaque appareil d'une centrale (caisson de mélange, batterie, humidificateur) déplace ce point dans une direction qu'on connaît d'avance. On y lit un bilan d'un coup d'œil, et on y contrôle un calcul.

2.1 Deux coordonnées bien choisies

À pression donnée, deux grandeurs suffisent à fixer l'état de l'air humide. Le diagramme proposé par Richard Mollier en 1923 retient les deux grandeurs que conservent les bilans : la teneur en eau x et l'enthalpie h, toutes deux rapportées au kilogramme d'air sec. Ce choix a une conséquence décisive : un mélange, un apport de chaleur ou un apport d'eau s'écrivent comme des additions sur x et sur h. Sur un papier gradué en x et en h, ils deviennent donc des segments de droite.

Porter simplement x en abscisse et h en ordonnée donnerait un dessin inutilisable : le terme 2501 · x de l'enthalpie fait monter tous les points avec x, et les états courants se serreraient dans une bande étroite et oblique. Mollier incline donc les axes. On garde x en abscisse et on porte en ordonnée :

Y = h − 2501 · x kJ/kg, x en kg/kg

Cela revient à faire tourner l'axe des enthalpies jusqu'à ce que l'isotherme 0 °C soit horizontale. L'ordonnée ressemble alors à une échelle de température, et les lignes d'enthalpie constante deviennent des obliques. Un diagramme est tracé pour une pression : ici 1013,25 hPa, comme au chapitre 1.

2.2 Les familles de lignes

Teneur en eau x constante

Des verticales. Tout ce qui ne touche pas à l'eau de l'air, chauffer comme refroidir sans condenser, se déplace sur une verticale.

Enthalpie h constante

Les droites Y = h − 2501 x : parallèles entre elles, elles descendent vers la droite. Le long d'une isenthalpe, l'air ne reçoit ni ne cède d'énergie.

Température t constante

En remplaçant h par son expression, Y = t · (1,006 + 1,86 x). Ce sont des droites presque horizontales qui montent un peu avec x, d'autant plus que t est élevée : à 40 °C, Y passe de 40,24 à 41,73 kJ/kg entre x = 0 et 20 g/kg. Elles ne sont donc pas parallèles. Dans le plan (x, h), leur pente vaut 2501 + 1,86 t : 2482,4 kJ/kg à −10 °C, 2501,0 kJ/kg à 0 °C, 2538,2 kJ/kg à 20 °C et 2575,4 kJ/kg à 40 °C.

Humidité relative φ constante

Des courbes, obtenues en calculant pour chaque t la teneur x = 0,622 φ e_s(t) / (p − φ e_s(t)), où e_s est la pression de vapeur saturante du chapitre 1 : au-dessus de l'eau liquide à partir de 0 °C, au-dessus de la glace en dessous, convention de l'ASHRAE reprise dans tout le cours. La courbe φ = 100 % est la courbe de saturation. Elle part presque à la verticale aux basses températures puis se couche vers la droite, parce que e_s croît très vite avec t : elle coupe x = 20,02 g/kg à 25 °C et x = 27,12 g/kg à 30 °C. Sous 0 °C, c'est la saturation sur la glace : à −10 °C, elle coupe x = 1,60 g/kg, contre 1,77 g/kg sur l'eau surfondue. Sous cette courbe, en bas à droite, s'étend la zone de brouillard : l'air y porte plus d'eau qu'il n'en peut tenir en vapeur, et l'excédent est en gouttelettes ou en givre.

Le diagramme psychrométrique anglo-saxon, de type Carrier, porte t en abscisse et x en ordonnée, avec des isenthalpes obliques. Il contient les mêmes lignes et ressemble au diagramme de Mollier retourné autour d'une diagonale. Tout ce qui suit s'y applique tel quel.

2.3 Lire un état

Un état est l'intersection de deux lignes. Prenons l'air d'un bureau à 22 °C et 40 %, point d'intersection de l'isotherme 22 °C et de la courbe 40 %. En descendant à la verticale jusqu'à l'échelle du bas, on lit x = 6,54 g/kg. En suivant l'isenthalpe jusqu'au bord, on lit h = 38,8 kJ/kg. En descendant à x constant jusqu'à la saturation, on trouve l'isotherme 7,8 °C : c'est la température de rosée. En suivant l'isenthalpe jusqu'à la saturation, on tombe vers 13,8 °C, juste sous la température humide t* = 13,9 °C (chapitre 1) ; la section 2.7 explique pourquoi.

2.4 Le mélange de deux airs

Un caisson de mélange reçoit un débit d'air neuf q_m,1 et un débit d'air repris q_m,2, tous deux en kilogrammes d'air sec par seconde. Il n'apporte ni chaleur ni eau, et ses pertes par les parois sont négligeables. Trois bilans s'écrivent, pour l'air sec, pour l'eau et pour l'énergie :

q_m = q_m,1 + q_m,2 x_M = (q_m,1 x₁ + q_m,2 x₂) / q_m h_M = (q_m,1 h₁ + q_m,2 h₂) / q_m

x_M et h_M sont la même moyenne pondérée de x et de h. Le point de mélange M est donc sur le segment qui joint les deux états, et il le partage en raison inverse des débits : c'est la règle du levier,

M1 / M2 = q_m,2 / q_m,1

Le point de mélange est plus près de l'air le plus abondant. Deux précautions. D'abord, les poids sont des masses d'air sec, pas des volumes : l'air froid est plus dense, et 30 % d'air neuf en volume à −5 °C font 32,2 % de la masse quand l'air repris est à 22 °C (exemple 2.9). Ensuite, la température du mélange n'est pas exactement la moyenne pondérée des températures, puisque les isothermes ne sont pas parallèles. Sur la figure, avec 30 % d'air neuf, le mélange est à 13,95 °C alors que la moyenne pondérée donne 13,90 °C : l'écart est négligeable en pratique, et il ne touche jamais x ni h.

Agissez sur la figure : ouvrir le volet d'air neuf ferme celui d'air repris, et la plume glisse sur la droite, de l'air repris vers l'air neuf. Le trait le plus marqué, de l'air repris au mélange, et le trait plus discret, du mélange à l'air neuf, sont les deux bras du levier.

La droite de mélange peut traverser la zone de brouillard. Avec un air neuf à −10 °C et 90 % et un air repris à 22 °C et 60 %, tous les mélanges entre 54,6 % et 95,4 % d'air neuf (en masse) sont sursaturés. Le pire, vers 76 % d'air neuf, porte 0,329 g/kg d'eau en excès à −2,4 °C : du brouillard ou du givre sur le premier filtre. C'est une des raisons pour lesquelles on préchauffe l'air neuf dans les climats froids, ou pour lesquelles on vérifie le tracé avant de fixer la plage d'ouverture du volet d'air neuf.

2.5 Chauffage et refroidissement sec

Une batterie chaude n'ajoute pas d'eau : le point monte à la verticale, et la puissance vaut Φ = q_m · (h₂ − h₁) avec Δh = (1,006 + 1,86 x) · Δt. À x = 9,40 g/kg, cela fait 1,0235 kJ/kg par kelvin. L'humidité relative baisse en chemin, comme on l'a vu au chapitre 1.

Une batterie froide dont toute la surface reste au-dessus de la température de rosée de l'air refroidit sans condenser : le point descend à la verticale. Un air à 26 °C et 45 % (x = 9,40 g/kg) a sa rosée à 13,1 °C. Une batterie dont la surface est à 14 °C peut l'amener à 16 °C : x ne change pas, φ monte à 83,2 % et l'air cède 10,2 kJ/kg. Dès qu'une partie de la surface passe sous 13,1 °C, l'eau y condense et la transformation quitte la verticale.

2.6 Refroidissement avec déshumidification

Au contact d'une surface de batterie plus froide que la rosée, l'air se sature à la température de la surface. Ce point S, sur la courbe de saturation, s'appelle le point de surface (en anglais apparatus dew point). On décrit alors la batterie comme si une fraction β de l'air la traversait sans rien toucher et le reste sortait à l'état S. L'air de sortie est le mélange des deux : il est sur le segment qui va de l'entrée E au point S, et c'est encore la règle du levier.

x₂ = β x₁ + (1 − β) x_S h₂ = β h₁ + (1 − β) h_S

β est le facteur de bipasse. Il dépend surtout du nombre de rangs, du pas des ailettes et de la vitesse de l'air ; il vaut typiquement de quelques centièmes à quelques dixièmes. Ce modèle suppose une surface à température uniforme, ce qu'aucune batterie réelle n'a. Il suffit pourtant à placer la sortie et à comprendre pourquoi l'air quitte une batterie froide sans être tout à fait saturé : son dimensionnement viendra au chapitre des batteries froides.

L'eau retirée, q_m (x₁ − x₂), s'écoule au bac. Elle emporte un peu d'enthalpie, c_w · t_eau par kilogramme avec c_w = 4,19 kJ/(kg·K), ce qui ne change guère la puissance : Φ = q_m (h₁ − h₂) − q_m (x₁ − x₂) c_w t_eau.

2.7 Humidification à l'eau et à la vapeur

Apporter une masse d'eau Δx par kilogramme d'air sec, d'enthalpie h_w, augmente l'enthalpie de h_w · Δx. La direction de la transformation est donc fixée par l'eau qu'on apporte, et par elle seule :

Δh / Δx = h_w

Eau liquide (pulvérisation, média ruisselant) : h_w = c_w · t_eau ne vaut que quelques dizaines de kJ/kg. La transformation suit presque une isenthalpe : l'air se refroidit en se chargeant d'eau, parce que c'est sa propre chaleur qui évapore l'eau. On parle d'humidification adiabatique. Sa limite est le point où la droite atteint la saturation, la température de saturation adiabatique t*. Un air neuf à −5 °C et 80 %, préchauffé à 30 °C, garde x = 1,98 g/kg et tombe à φ = 7,6 %. Pour lui, t* = 12,6 °C, avec x = 9,08 g/kg à saturation, et l'eau recyclée à t* donne une pente de 52,9 kJ/kg. Un humidificateur qui parcourt 80 % du chemin en teneur en eau sort l'air à 16,1 °C, 7,66 g/kg et 67,7 % ; son enthalpie n'a monté que de 0,30 kJ/kg. Le cours prend t* comme température humide (chapitre 1). Un psychromètre aspiré lirait 12,8 °C pour cet air très sec. L'isenthalpe qui part de l'état s'arrête un peu sous t*, parce que l'eau à t* apporte quelques dixièmes de kJ/kg ; l'écart reste de l'ordre du dixième de kelvin, et c'est pourquoi on lit souvent la température humide en suivant l'isenthalpe.

Vapeur : avec le modèle du cours, la vapeur à 100 °C apporte h_w = 2501 + 1,86 × 100 = 2687,0 kJ/kg. Les tables de vapeur donnent 2675,6 kJ/kg pour la vapeur saturée à 100 °C : l'écart de 0,4 % ne change guère le tracé. C'est presque la pente d'une isotherme, qui vaut 2538,2 kJ/kg à 20 °C : l'humidification à la vapeur est quasi isotherme. L'air gagne environ 0,15 K par g/kg de vapeur ajoutée, et toute l'énergie de vaporisation est payée par le générateur de vapeur, pas par l'air.

2.8 Le rapport Δh/Δx et l'échelle de bord

Toute transformation d'un état 1 vers un état 2 a une direction sur le diagramme, donnée par le rapport Δh/Δx = (h₂ − h₁) / (x₂ − x₁), en kJ par kilogramme d'eau. C'est une pente dans le plan (x, h), et elle ne dépend pas de la position du point. Le cadre du diagramme de Mollier porte une échelle de bord : des rayons issus d'un pôle (x = 0, t = 0), repérés par leur valeur de Δh/Δx là où ils sortent du cadre. Pour tracer une transformation de pente connue à partir d'un état, on prend la direction du rayon correspondant et on la reporte par une parallèle.

La dernière ligne est l'usage le plus courant. Un local reçoit une charge totale Φ (chaleur sensible et latente) et une charge en eau q_m,w (occupants, plantes, process). L'air soufflé doit en ressortir à l'état du local : il se trouve donc sur la droite qui passe par l'état du local avec la pente Δh/Δx = Φ / q_m,w. Avec 3,0 kW et 0,40 g/s d'eau, la pente vaut 7500 kJ/kg. Tous les soufflages possibles sont sur cette droite. Le débit d'air choisit ensuite le point.

2.9 Exemple : une centrale en hiver

Une centrale mélange 1 500 m³/h d'air neuf à −5 °C et 80 % avec 3 500 m³/h d'air repris à 22 °C et 40 %. Elle chauffe le mélange à 20 °C puis l'humidifie à la vapeur (100 °C) jusqu'à 6,0 g/kg.

1. États d'entrée : air neuf x = 1,98 g/kg (φ rapportée à la glace), h = −0,10 kJ/kg ; air repris x = 6,54 g/kg, h = 38,8 kJ/kg.
2. Débits d'air sec : ρ_a = 1,3122 kg/m³ pour l'air neuf et 1,1835 kg/m³ pour l'air repris. q_m,1 = 1 500 × 1,3122 / 3 600 = 0,547 kg/s, q_m,2 = 3 500 × 1,1835 / 3 600 = 1,151 kg/s, soit 1,697 kg/s au total. L'air neuf fait 30 % du volume et 32,2 % de la masse.
3. Mélange : x_M = 5,07 g/kg, h_M = 26,2 kJ/kg, d'où t_M = 13,4 °C et φ = 53,6 %. La moyenne des températures pondérée par les masses donnerait 13,3 °C.
4. Batterie chaude jusqu'à 20 °C, à x constant : h = 33,0 kJ/kg, Δh = 6,75 kJ/kg, Φ = 1,697 × 6,75 = 11,5 kW. L'humidité relative tombe à 35,1 %.
5. Vapeur : Δx = 6,0 − 5,07 = 0,93 g/kg, soit 1,697 × 0,000926 × 3 600 = 5,66 kg/h de vapeur. L'enthalpie passe à 35,5 kJ/kg, l'air à 20,1 °C et 41,2 %. La vapeur apporte 4,2 kW à l'air.

Sur le diagramme, le trajet est un segment de mélange, une verticale, puis un petit segment presque parallèle à l'isotherme 20 °C. Le contrôle visuel est immédiat : si le point final tombait sous l'isotherme 20 °C, on aurait pris la pente de l'eau liquide au lieu de celle de la vapeur.

2.10 Exemple : une batterie froide en été

Une batterie froide traite 4 000 m³/h d'air à 28 °C et 50 %. Sa surface est à 10 °C et son facteur de bipasse vaut 0,10.

1. Entrée : x₁ = 11,79 g/kg, h₁ = 58,3 kJ/kg, rosée à 16,6 °C. La surface est plus froide que la rosée : l'eau condense.
2. Point de surface S, saturé à 10 °C : x_S = 7,62 g/kg, h_S = 29,3 kJ/kg.
3. Sortie : x₂ = 0,10 × 11,79 + 0,90 × 7,62 = 8,04 g/kg et h₂ = 32,2 kJ/kg, d'où t₂ = 11,8 °C et φ₂ = 93,5 %.
4. Débit d'air sec : ρ_a = 1,150 kg/m³, q_m = 4 000 × 1,150 / 3 600 = 1,278 kg/s.
5. Condensat : 1,278 × (11,79 − 8,04) / 1 000 × 3 600 = 17,3 kg/h.
6. Puissance côté air : 1,278 × (58,3 − 32,2) = 33,4 kW. L'eau évacuée à 10 °C emporte 0,20 kW, et la batterie fournit 33,2 kW de froid. En passant par le point (28 °C ; 8,04 g/kg), on sépare 21,1 kW de sensible et 12,3 kW de latent.

La transformation a une pente de 6950 kJ/kg. Avec β = 0,05, l'air sortirait à 10,9 °C et 7,83 g/kg ; avec β = 0,20, à 13,6 °C et 8,45 g/kg. Le facteur de bipasse déplace la sortie le long de la même droite E–S.

À retenir

• Le diagramme h-x porte x en abscisse et h sur des axes obliques ; les isothermes sont presque horizontales et pas tout à fait parallèles.
• Mélange, chauffage, humidification sont des additions sur x et h, donc des segments de droite.
• Le point de mélange partage la droite en raison inverse des débits d'air sec : c'est la règle du levier.
• Chauffer ou refroidir sans condenser : verticale. Humidifier à l'eau : presque une isenthalpe. À la vapeur : presque une isotherme.
• Sous la rosée, la batterie froide tire l'air vers son point de surface ; le facteur de bipasse le place sur ce segment.
• Le rapport Δh/Δx donne la direction d'une transformation ; l'échelle de bord permet de la tracer.

Sources publiques : R. Mollier, « Ein neues Diagramm für Dampfluftgemische », Zeitschrift des VDI 67 (1923), pour le principe du diagramme à axes obliques ; OMM, Guide des instruments et des méthodes d'observation (OMM-n° 8), pour la formule de Magnus sur l'eau et sur la glace et l'équation du psychromètre ; ASHRAE, Handbook, Fundamentals, chapitre « Psychrometrics », pour la saturation sur la glace sous 0 °C, la température de saturation adiabatique, et W. H. Carrier et al., Modern Air Conditioning, Heating and Ventilating, pour les bilans des transformations et la notion de facteur de bipasse ; capacités thermiques et chaleur de vaporisation usuelles. Tous les nombres de ce chapitre sont calculés par le modèle du cours.