Le cycle frigorifique

La chaleur passe d'elle-même du chaud vers le froid. Climatiser, c'est la faire remonter : la prendre à de l'eau à 12 °C et la rendre à de l'eau ou à de l'air à plus de 30 °C. Une machine frigorifique fait ce transport au prix d'un travail. Ce chapitre décrit le cycle à compression de vapeur qui équipe presque tous les groupes d'eau glacée et les pompes à chaleur, le lit sur le diagramme log p-h et le chiffre point par point sur le groupe de référence du cours.

43.1 Pomper de la chaleur

Une machine frigorifique prend une puissance Φ₀ à une source froide, reçoit une puissance P au compresseur et rejette une puissance Φ_c à une source chaude. En régime permanent, rien ne s'accumule dans la machine :

Φ_c = Φ₀ + P

Le même appareil sert deux usages. En climatisation, on paie P pour obtenir Φ₀ ; en chauffage, on paie P pour obtenir Φ_c. On les juge par deux rapports sans unité :

EER = Φ₀ / P efficacité frigorifique COP = Φ_c / P = EER + 1 coefficient de performance en chaud, même cycle

Un EER de 5 veut dire que chaque kilowatt électrique déplace 5 kW de chaleur. Ce n'est pas un rendement : la machine transporte de la chaleur, elle ne la produit pas. Les essais normalisés des groupes et des pompes à chaleur (EN 14511) mesurent l'EER et le COP de la machine entière, ventilateurs et part des pompes compris, à des températures fixées. Dans ce chapitre, P désigne la seule puissance absorbée par le compresseur : on parle de l'EER du cycle.

Le transport repose sur une propriété simple : la température d'ébullition d'un fluide monte avec sa pression. Le R32 de notre exemple bout à 2 °C sous 8,665 bar et se condense à 32,95 °C sous 20,793 bar. On le fait bouillir à basse pression dans un échangeur en contact avec l'eau à refroidir, l'évaporateur, où il prend sa chaleur de vaporisation. Le compresseur aspire la vapeur et la refoule à haute pression dans un second échangeur, le condenseur, où elle se condense en cédant sa chaleur à l'eau d'une tour ou à l'air extérieur. Le liquide revient à l'évaporateur par un organe de détente, qui fait tomber sa pression. Le circuit est fermé.

43.2 La limite de Carnot

Le second principe fixe un plafond. Une machine réversible qui prend de la chaleur à la température absolue T₀ et la rejette à T_c ne crée pas d'entropie : Φ₀ / T₀ = Φ_c / T_c. Avec le bilan du § 43.1, on obtient les efficacités de Carnot :

EER_Carnot = T₀ / (T_c − T₀) COP_Carnot = T_c / (T_c − T₀) températures en kelvins

Seul compte l'écart de température, rapporté à la température absolue. Entre 2 °C et 32,95 °C, températures d'évaporation et de condensation du groupe de référence, EER_Carnot = 275,15 / 30,95 = 8,89, et COP_Carnot = 9,89. Aucune machine réelle n'y parvient. Le rapport de l'EER réel à celui de Carnot, appelé rendement exergétique ou rapport à Carnot, juge la qualité d'une machine indépendamment des températures où elle travaille.

Il faut choisir entre quelles températures on compte. Entre les températures du fluide, t₀ et t_c, Carnot juge le cycle seul. Entre les températures des fluides extérieurs, ici l'eau glacée à 6 °C et l'eau de tour à 29,95 °C, il juge l'installation entière, échangeurs compris, et vaut 11,65. Le § 43.8 se sert de cet écart pour ranger les pertes.

43.3 Le diagramme log p-h

Le frigoriste suit son fluide sur un diagramme qui porte l'enthalpie massique h en abscisse et la pression en ordonnée, sur une échelle logarithmique. Ce choix rend les bilans lisibles : dans chaque organe du circuit, la chaleur ou le travail échangé par kilogramme de fluide est une différence d'enthalpie, donc une longueur horizontale. L'échelle logarithmique donne la même place à la basse et à la haute pression.

La courbe de saturation découpe le diagramme. C'est une cloche dont le sommet est le point critique, à 78,11 °C et 57,83 bar pour le R32. Sa branche gauche est la courbe de liquide saturé, d'enthalpie h', sa branche droite celle de vapeur saturée, h''. À gauche s'étend le liquide sous-refroidi, sous la cloche le mélange de liquide et de vapeur, à droite la vapeur surchauffée.

Isothermes

Presque verticales dans le liquide, horizontales sous la cloche, où la température ne dépend que de la pression, puis plongeantes vers la droite dans la vapeur. Sous la cloche, isotherme et isobare se confondent : c'est ce qui permet à un manomètre de porter une échelle de température.

Titre

La fraction massique de vapeur x, de 0 sur la courbe de liquide à 1 sur la courbe de vapeur. Les lignes d'égal titre partagent chaque palier en parts égales : x = (h − h') / (h'' − h').

Isentropes

Les courbes d'égale entropie, raides, qui montent vers la droite dans la vapeur. Une compression sans frottement et sans échange de chaleur les suit.

Les valeurs absolues de h et de s dépendent d'une convention. Ce cours suit celle de l'Institut international du froid : h = 200 kJ/kg et s = 1 kJ/(kg·K) pour le liquide saturé à 0 °C. Les différences, seules utiles, n'en dépendent pas. Les propriétés viennent de la bibliothèque libre CoolProp, qui implante pour le R32 l'équation d'état publiée par Tillner-Roth et Yokozeki. Contrôle : elle redonne le point critique publié et l'ébullition à −51,65 °C sous la pression atmosphérique. Le choix du fluide, ses pressions, sa sécurité et son effet sur le climat sont l'objet du chapitre 44.

43.4 Les quatre transformations

Le cycle simple se trace avec quatre points, numérotés dans le sens du fluide.

1 → 2, compression. Le compresseur aspire de la vapeur légèrement surchauffée et la refoule à la pression de condensation. Une compression idéale suivrait l'isentrope jusqu'au point 2s. La compression réelle frotte et réchauffe le gaz : elle demande plus de travail et refoule plus chaud. On le résume par le rendement isentropique η_is, que le chapitre 45 détaille :

h₂ = h₁ + (h_2s − h₁) / η_is w = h₂ − h₁

Dans un compresseur hermétique, le gaz aspiré refroidit le moteur : la puissance électrique finit presque entière dans le fluide, et w se confond avec la puissance absorbée par kilogramme. Le modèle commun du cours fait cette hypothèse.

2 → 3, condensation. Dans le condenseur, à pression constante, la vapeur se refroidit d'abord jusqu'à la saturation (désurchauffe), puis se condense à température constante, puis le liquide se refroidit encore de quelques kelvins (sous-refroidissement). La chaleur rejetée vaut q_c = h₂ − h₃.

3 → 4, détente. Le liquide traverse un passage étroit sans échanger ni chaleur ni travail : l'enthalpie se conserve, h₄ = h₃, et le point descend à la verticale. Une partie du liquide se vaporise pour refroidir le reste jusqu'à la température d'évaporation. Le titre en sortie se calcule par la règle des moments :

x₄ = (h₃ − h'₀) / (h''₀ − h'₀)

Sur le banc de la figure 43.1, cet organe est un détendeur thermostatique. Son bulbe, serré sur la conduite d'aspiration, mesure la température de la vapeur qui sort de l'évaporateur. Le détendeur ouvre quand cette vapeur est trop surchauffée et ferme quand elle approche de la saturation. Il règle donc la surchauffe et protège le compresseur des gouttes de liquide.

4 → 1, évaporation. À pression constante, le mélange finit de bouillir, puis la vapeur se surchauffe de quelques kelvins. La chaleur prise à l'eau glacée vaut q₀ = h₁ − h₄, la production frigorifique massique.

Pour un kilogramme qui fait le tour, le bilan se ferme comme pour la machine : q_c = q₀ + w et EER = q₀ / w. Le débit de fluide découle de la puissance demandée, et le compresseur doit aspirer le volume correspondant :

q_m = Φ₀ / q₀ P = q_m · w Φ_c = q_m · q_c q_v = q_m · v₁

où v₁ est le volume massique à l'aspiration. Le rapport q₀ / v₁, la production frigorifique volumique, dit combien de froid fournit chaque mètre cube aspiré : pour un fluide et des températures donnés, c'est lui qui fixe la taille du compresseur.

43.5 Exemple : le groupe de référence au point de projet

Le groupe d'eau glacée du cours alimente la batterie froide de la centrale (chapitres 37 et 42) et les ventilo-convecteurs des bureaux des chapitres 19 à 21. Ses données sont des hypothèses d'exemple, communes aux chapitres 43 et 45 à 47 : 120 kW de froid, eau glacée 12/6 °C, R32, deux compresseurs scroll hermétiques, condenseur refroidi par une tour dont l'eau arrive à 24,95 °C et repart à 29,95 °C. L'évaporation se fait 4 K sous la sortie d'eau glacée, la condensation 3 K au-dessus de la sortie d'eau de tour ; surchauffe 5 K, sous-refroidissement 3 K, η_is = 0,70.

1. Pressions : t₀ = 6 − 4 = 2 °C, d'où p₀ = 8,665 bar ; t_c = 29,95 + 3 = 32,95 °C, d'où p_c = 20,793 bar. Les manomètres, qui lisent la pression relative, marquent 7,65 et 19,78 bar. Rapport de pression : 2,40.
2. Point 1, aspiration : vapeur à 8,665 bar et 2 + 5 = 7 °C ; h₁ = 521,82 kJ/kg, s₁ = 2,1693 kJ/(kg·K), v₁ = 0,04393 m³/kg. La vapeur saturée à 2 °C vaut h''₀ = 515,65 kJ/kg : la surchauffe ajoute 6,17 kJ/kg.
3. Point 2, refoulement : sur l'isentrope s₁, à 20,793 bar, h_2s = 557,61 kJ/kg. Avec η_is = 0,70, h₂ = 521,82 + (557,61 − 521,82) / 0,70 = 572,95 kJ/kg, soit t₂ = 74,7 °C.
4. Point 3, sortie du condenseur : liquide à 20,793 bar et 32,95 − 3 = 29,95 °C ; h₃ = 255,14 kJ/kg.
5. Point 4, après détente : h₄ = 255,14 kJ/kg à 8,665 bar. Avec h'₀ = 203,50 et h''₀ = 515,65 kJ/kg, x₄ = (255,14 − 203,50) / 312,15 = 0,165 : 16,5 % du fluide entre dans l'évaporateur déjà vaporisé.
6. Par kilogramme : q₀ = 521,82 − 255,14 = 266,68 kJ/kg ; w = 572,95 − 521,82 = 51,14 kJ/kg ; q_c = 317,82 kJ/kg, dont 57,90 de désurchauffe, 253,87 de condensation et 6,04 de sous-refroidissement.
7. Efficacités : EER = 266,68 / 51,14 = 5,22 ; COP côté condenseur 6,22. Carnot entre 2 et 32,95 °C donne 8,89 : le cycle en atteint 58,7 %.
8. Débit et puissances : q_m = 120 / 266,68 = 0,4500 kg/s, soit 1 620 kg/h. P = 0,4500 × 51,14 = 23,01 kW ; Φ_c = 0,4500 × 317,82 = 143,01 kW, qui égale bien 120 + 23,01.
9. Compresseur : q_v = 0,4500 × 0,04393 × 3 600 = 71,2 m³/h aspirés. Avec un rendement volumétrique de 0,92 (chapitre 45), il faut 77,3 m³/h de cylindrée, soit deux scrolls de 38,7 m³/h. La production frigorifique volumique vaut 6 071 kJ/m³.
10. Côté eau : 120 kW sur 6 K demandent 4,778 kg/s d'eau glacée ; 143,01 kW sur 5 K, 6,833 kg/s d'eau de tour.

Le diagramme rend ces chiffres visibles. Le froid vient presque entièrement du changement d'état : la surchauffe ne fournit que 2,3 % de q₀. Au condenseur, la désurchauffe pèse davantage, 18,2 % de q_c, à une température qui part de 74,7 °C. La tour doit évacuer 19,18 % de plus que le froid produit (143,01 kW pour 120 kW) : c'est la puissance du compresseur, qui ressort au condenseur.

43.6 Évaporer plus chaud, condenser plus froid

La formule de Carnot l'annonce : tout ce qui rapproche t₀ de t_c améliore l'EER. Le modèle chiffre l'effet sur le cycle réel, autour du point de projet, par petites variations de part et d'autre :

(1/EER) ∂EER / ∂t₀ ≈ +3,98 %/K (1/EER) ∂EER / ∂t_c ≈ −3,84 %/K

Un kelvin de plus à la condensation fait tomber l'EER à 5,02 et monter la puissance du compresseur à 23,90 kW pour les mêmes 120 kW ; un kelvin de plus à l'évaporation le porte à 5,43 et ramène P à 22,10 kW. Le cycle réel réagit plus fort que Carnot, qui ne donne que 3,60 et −3,23 %/K : quand t_c monte d'un kelvin, w augmente de 3,10 % et q₀ baisse en plus de 0,74 %, parce que le liquide plus chaud se vaporise davantage à la détente.

EER du cycle de référence (R32, surchauffe 5 K, sous-refroidissement 3 K, η_is = 0,70) en fonction des températures d'évaporation et de condensation, calculé par le modèle du chapitre.

Ces quelques pour cent par kelvin guident le projet : eau glacée plus chaude si les batteries du chapitre 37 l'acceptent, échangeurs plus grands (chapitre 46), tour plus généreuse (chapitre 47), loi d'eau basse en chauffage (chapitre 48). La performance saisonnière se joue sur les mêmes écarts (chapitre 49).

Exemple : la même machine condensée par air. Sans tour, le condenseur est une batterie traversée par l'air extérieur à 31 °C, et l'on condense 15 K plus haut (froid.chiller(aircooled=True)).

1. t_c = 31 + 15 = 46 °C, p_c = 28,616 bar, soit 27,60 bar au manomètre HP ; le rapport de pression passe de 2,40 à 3,30.
2. Le point 1 ne change pas. h₂ = 593,36 kJ/kg et le refoulement monte à 101,5 °C. Le liquide sort à 43 °C avec h₃ = 281,73 kJ/kg, et le titre après détente monte à 0,251.
3. q₀ = 240,09 kJ/kg (−10,0 %), w = 71,55 kJ/kg. EER = 3,36, contre 5,22 : −36 %. Carnot vaut 6,25 entre 2 et 46 °C ; le rapport à Carnot tombe à 53,7 %.
4. Pour 120 kW : q_m = 0,4998 kg/s (+11,1 %), P = 35,76 kW (+55 %), Φ_c = 155,76 kW.
5. Le compresseur doit aspirer 79,0 m³/h, soit 85,9 m³/h de cylindrée, 43,0 par scroll. Avec les deux scrolls du groupe à eau, à rendement volumétrique inchangé, la machine ne donnerait plus que 108,0 kW pour 32,19 kW.

Le condenseur à air évite la tour et son eau, mais chaque kilowatt de froid coûte 55 % d'électricité de plus au point de projet, ventilateurs non compris (chapitres 46 et 47).

43.7 Surchauffe et sous-refroidissement

Les deux réglages bordent la cloche : la surchauffe à la sortie de l'évaporateur, le sous-refroidissement à la sortie du condenseur. Le modèle les fait varier seuls, aux températures de projet :

La surchauffe utile, prise dans l'évaporateur, ajoute du froid : de 0 à 10 K, q₀ gagne 4,6 %. Mais la vapeur surchauffée est moins dense et plus coûteuse à comprimer : w gagne 6,9 %, et l'EER perd 2,1 %. La production frigorifique volumique baisse de 2,0 %, et le refoulement passe de 68,2 à 81,0 °C. Avec le R32, qui refoule chaud, cette dernière conséquence compte. On garde donc la surchauffe juste suffisante pour que le compresseur n'aspire jamais de liquide : quelques kelvins, réglés par le détendeur. Prise dans une conduite d'aspiration mal isolée, la surchauffe n'apporte aucun froid utile.

Le sous-refroidissement abaisse h₃ sans toucher au compresseur : moins de vapeur se forme à la détente, q₀ augmente et w ne bouge pas. De 0 à 6 K, l'EER gagne 4,6 %. Il assure aussi que la colonne de liquide arrive pleine au détendeur : c'est ce que montre le voyant liquide du banc, qui doit rester clair, sans bulles. Ce gain n'est pas gratuit : il occupe une partie de la surface du condenseur, au détriment de la condensation (chapitre 46).

43.8 D'où vient l'écart à Carnot

Le groupe de référence produit 5,22 kW de froid par kilowatt, quand Carnot entre les deux eaux en permettrait 11,65. On peut ranger la perte en trois marches, chacune calculée par le modèle :

1. Écarts aux échangeurs. Le fluide s'évapore 4 K sous l'eau glacée et se condense 3 K au-dessus de l'eau de tour. Carnot entre t₀ et t_c tombe à 8,89 : il reste 76,3 %. C'est le domaine du chapitre 46.
2. Forme du cycle. Même avec une compression isentropique, le cycle ne donnerait que 7,45 (83,8 % du Carnot précédent), avec w = 35,80 kJ/kg et un refoulement à 62,3 °C. La perte vient de la détente, qui dissipe sans travail l'énergie du liquide, et de la désurchauffe, qui rejette de la chaleur au-dessus de t_c. Elle dépend du fluide (chapitre 44).
3. Compression réelle. Avec η_is = 0,70, l'EER tombe à 5,22, soit 70,0 % du cycle isentropique : le rapport des deux est le rendement isentropique lui-même. C'est le domaine du chapitre 45.

En tout, l'EER du cycle atteint 44,7 % du Carnot des eaux. Les trois marches pèsent du même ordre : il faut les soigner toutes.

Les pertes de charge s'ajoutent au cycle simple. On les compte, comme sur le chantier, en kelvins de température de saturation. Un kelvin de perte dans la conduite d'aspiration, soit 0,270 bar, oblige le compresseur à partir de plus bas : w passe à 53,21 kJ/kg et l'EER à 5,01, soit −3,9 %. La vapeur aspirée étant moins dense, la production frigorifique volumique baisse aussi de 3,2 % : à cylindrée égale, le groupe perd autant de puissance. Un kelvin au refoulement, soit 0,534 bar, coûte −3,0 % sur l'EER. Les deux ensemble : −6,7 %. Le dessin des conduites et des échangeurs (chapitres 9 et 46) cherche donc un compromis entre vitesse, retour d'huile et pression.

Le modèle ignore d'autres pertes : échanges du compresseur avec l'ambiance, auxiliaires, huile en circulation, et la charge partielle du chapitre 49.

43.9 Le même cycle en pompe à chaleur

Retourné vers le chaud, le cycle ne change pas ; seuls changent la source froide, l'air extérieur, et l'usage, la chaleur du condenseur. La pompe à chaleur au R290 de la maison du chapitre 17 doit fournir 2 805 W à −7 °C, avec un départ d'eau à 35 °C. Elle évapore à −15 °C et condense à 38 °C, avec un rapport de pression de 4,48. Son COP vaut 3,45 hors dégivrage et ventilateur, pour 812 W au compresseur ; Carnot entre −15 et 38 °C donnerait 5,87, et elle en atteint 58,8 %, à peu près comme le groupe d'eau glacée. Son écart de 53 K entre évaporation et condensation, contre 30,95 K pour le groupe, explique pourquoi son COP reste loin des 6,22 du groupe côté condenseur, à rapport à Carnot presque égal. Le chapitre 48 traite le givrage et la loi d'eau.

À retenir

• Une machine frigorifique transporte de la chaleur : Φ_c = Φ₀ + P, EER = Φ₀ / P, COP = EER + 1 pour le même cycle.
• Carnot fixe le plafond, T₀ / (T_c − T₀) ; seul compte l'écart de température. Le groupe de référence atteint 58,7 % de Carnot entre ses températures de fluide.
• Sur le log p-h, chaque échange est une longueur horizontale : q₀ = h₁ − h₄, w = h₂ − h₁, q_c = h₂ − h₃, et la détente est verticale.
• Le débit vient de la puissance demandée, q_m = Φ₀ / q₀ ; la cylindrée, de la production frigorifique volumique.
• Autour du point de projet, l'EER gagne environ 4 % par kelvin d'évaporation et perd autant par kelvin de condensation. Condenser par air à 46 °C au lieu de 32,95 °C coûte 55 % de puissance au compresseur.
• La perte se partage entre les échangeurs, la forme du cycle et le compresseur ; chaque kelvin de perte de charge coûte quelques pour cent.

Sources publiques : S. Carnot, Réflexions sur la puissance motrice du feu, 1824, et R. Clausius pour le second principe, dans tout manuel de thermodynamique, par exemple Y. A. Çengel et M. A. Boles, Thermodynamics: An Engineering Approach (chapitre sur les cycles frigorifiques) ; W. F. Stoecker et J. W. Jones, Refrigeration and Air Conditioning ; ASHRAE, Handbook — Fundamentals, chapitre « Thermodynamics and Refrigeration Cycles » ; I. H. Bell, J. Wronski, S. Quoilin, V. Lemort, « Pure and pseudo-pure fluid thermophysical property evaluation and the open-source thermophysical property library CoolProp », Ind. Eng. Chem. Res. 53 (2014) ; R. Tillner-Roth, A. Yokozeki, équation d'état du R32, J. Phys. Chem. Ref. Data 26 (1997) ; E. W. Lemmon, M. O. McLinden, W. Wagner, équation d'état du propane, J. Chem. Eng. Data 54 (2009) ; NIST Chemistry WebBook pour les valeurs de contrôle ; état de référence de l'Institut international du froid ; EN 14511, essais et définitions de l'EER et du COP des groupes et pompes à chaleur ; règlement (UE) n° 813/2013 pour la forme de la charge de la maison. Tous les nombres de ce chapitre sont calculés par le modèle du cours, commun aux chapitres 43 et 45 à 48.